Đề thi HSG các năm

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI VÒNG I
(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: (2 điểm) Chứng minh rằng:

Bài 2: (2 điểm) Tìm x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: B = |x - 2| - |x - 5|
Bài 3: (2 điểm) Cho 0 < x < y và 2x2 + 2y2 = 5xy. Tính giá trị của A =

Bài 4: (2 điểm) Một cái hòm có thể chứa được hoặc 14kg táo hoặc 21kg mận. Nếu ta chứa đầy hòm đó bằng cả táo và mận mà giá tiền của táo bằng giá tiền của mận thì số trái cây trong hòm sẽ cân nặng 18kg và giá là 240000 đồng. Tìm giá tiền 1kg táo, giá tiền 1kg mận.
Bài 5: (2 điểm) Tính độ lớn các góc của tam giác ABC, biết đường cao CD và đường trung tuyến CE chia góc đó thành ba phần bằng nhau.
----------------------------------------









Hướng dẫn và thang điểm chấm Toán vòng 1
Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008-2009
Bài 1: (2 điểm)
x2 + y2 + z2
3 ( x2 + y2 + z2 )
( x + y + z )2 0.25đ

3x2 + 3y2 + 3z2
x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz 0.5đ

2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2xz - 2yz
0 0.25đ

( x2 - 2xy + y2 ) + ( z2 - 2xz + x2 ) + ( y2 - 2yz + z2 )
0 0.5đ

( x - y )2 + ( z - x )2 + ( y - z )2
0 0.5đ
Bài 2: (2 điểm)
+ Nếu x < 2 thì B = – x + 2 + x – 5 = – 3 < 3 0.5đ
+ Nếu
thì B = x – 2 + x – 5 = 2x – 7 < 2.5 – 7 = 3 0.5đ
+ Nếu
thì B = x – 2 – x + 5 = 2x – 7 < 2.5 – 7 = 3 0.5đ
Vậy Bmax = 3 khi
0.5đ
Bài 3: (2 điểm)
A2 =
1đ
Vì
và
0.5đ
Từ A2 = 9 và A < 0 suy ra A = -3 0.5đ
Bài 4: (2 điểm)
Gọi x ( kg ) là số kg táo chứa trong hòm ( x > 0 )
Số kg mận chứa trong hòm là 18 – x ( kg ) (0.25đ)
Cái hòm có thể chứa 14 kg táo nên mỗi kg táo sẽ chiếm
thể tích hòm.
Tương tự, mỗi kg mận sẽ chiếm
thể tích của hòm. (0.25đ)
Do đó thể tích chiếm của táo là
thể tích của hòm.
Thể tích chiếm của mận là
thể tích của hòm (0.25đ)
Theo đề bài ta có phương trình:

(0.5đ)
Do đó, số kg táo là 6kg, số kg mận là 12kg (0.25đ)
Giá tiền của táo bằng giá tiền của mận là 120000 đồng
Vậy giá tiền 1kg táo là 120000 : 6 = 20000 (đồng )
giá tiền 1kg mận là 120000 : 12 = 10000 (đồng ) (0.5đ)
Bài 5: (2 điểm) Đặt BD = x thì BD = DE = x vì tam giác BCE có CD là đường phân giác nên nó cũng là đường trung tuyến (0.5đ).
Vì CE là trung tuyến của tam giác ANC nên: BE = AE = 2x (0.5đ).
Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác ACD, ta có:
(0.5đ)
Mà tam giác này vuông ở D nên theo tính chất tam giác vuông thì
= 300
Vậy
= 600 và
= 900 (0.5đ).