ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN toan_hv

Sở Giáo Dục&Đào Tạo Thừa Thiên-Huế
Trường THPT Hương Vinh

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 (Năm học 2007-2008)
(Thời gian làm bài : 180 phút)

Câu1(2 điểm) : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và có đạo hàm trên khoảng (0;1)
Gỉa sử f(0) = 0 và f(1) = 1
Chứng minh rằng tồn tại số c thuộc khoảng (0;1) sao cho f(c) = 1-c
Chứng minh răng tồn tại hai số a,b phân biệt thuộc khoảng (0;1) sao cho :



Câu2 (2 điểm) : Cho cặp số thực (x;y) thoả mãn điều kiện : x-2y+4 = 0
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =


Câu3 (2 điểm)Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng chứa tam giác sao cho :
a)

b)


Câu4 (2 diểm) : Cho phương trình
(n nguyên dương)
Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm dương duy nhất xn .
Tính lim xn .
Câu 5 (2điểm): Cho dãy số(un) xác định như sau :


Chứng minh :


------------HẾT-----------
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 12
*****
Câu1(2 điểm) : a) * Dặt g(x) = f(x) +x -1 với x thuộc đoạn [0;1]
thì g(x) cũng liên tục trên đoạn [0;1] (0.25 điểm)
* g(0) = -1 < 0 , g(1) = 1 >0 (o.25 điểm)
*Suy ra tồn tại số c thuộc khoảng (0;1) sao cho g(c) = 0

(0.5 điểm)
b) * áp dụng định lí Lagrang cho f(x) trên hai đoạn [0;c] và [c;1] , ta có :
tồn tại a thuộc (0;c) sao cho :

tồn tại b thuộc (c;1) sao cho :
(0.5 điểm)
* Rõ ràng a,b phân biệt và tích

(0.5 điểm)
Câu2 (2 điểm) :

* Biến đổi : P =
(0.5 điểm)
* Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi d là đường thẳng có phương trình x-2y+4 = 0
và các điểm M(x;y), A(3;6), B(5;8) thì P = MA+MB (0.25 điểm)
* Bài toán trở thành tìm toạ độ điểm M thuộc d sao cho tổng MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất (0.25 điểm)
* Dễ dàng kiểm tra A, B nằm về cùng 1 phía của d
Tìm được toạ độ của điểm A’, đối xứng của A qua d, đó là A’(5;2) (0.25 điểm)
*Với M thuộc d , ta có : MA+MB = MA’+MB ≥ A’B (không đổi)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A’, M, B thẳng hang hay M chính là giao điểm của d với đường thẳng A’B (0.25 điểm)
*Tìm được phương trình của đường thẳng A’B là : x-5 = 0 (0.25 điểm)
* Giải hệ phương trình :
cho M(5;

*Vậy Min P = 6 khi x = 5 và y = 4,5 (0.25 điểm)

Câu 3 (2 điểm) :

a) Gọi G là trong tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Ta có G, I cố định.
M thuộc quỹ tích


(0.5 điểm)
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng GI (0.25 diểm)
* Gọi P là điểm sao cho
(tức là P chia đoạn AB theo tỉ số
)
Q là điểm sao cho
(tức là Q chia đoạn BC theo tỉ số
) (0.5điểm )
*M thuộc quỹ tích