DE THI HOC SINH GIỎI TOÁN 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA
NĂM HỌC 2009-2010
TỈNH ĐẮKLẮK MÔN :TOÁN 12 - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 6/01/2010
Bài 1:( 5 điểm)
1) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

2) Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương :

Bài 2:(4 điểm)
1) Giải hệ phương trình

2) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành 2 hàng song song
( mỗi hàng 5 học sinh) sao cho 2 học sinh đối diện bao gồm 1 nam, 1 nữ.
Bài 3:(3 điểm)
Xét một lục giác lồi ABCDEF nội tiếp trong một đường tròn có các cạnh đối diện song song. Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh đối diện của lục giác đó bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau
Bài 4:(4 điểm)
1) Cho dãy
với

Tìm

2) Cho đa thức
có 5 nghiệm
. Đặt
.
Tính

Bài 5:(4 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi x >1 đều tồn tại một tam giác mà số đo các cạnh là những số
,
,
và các tam giác đó ứng với mọi x > 1 cho trước đều có góc lớn nhất như nhau.
2) Giả sử phương trình x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Hãy xét dấu của biểu thức a2 – 3b.
=====================
Họ và tên thí sinh………………………….……………Số báo danh…………………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA
NĂM HỌC 2009-2010
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN 12 TUYỂN CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
Bài 1: (5điểm)
1.Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

+ Ta có
0,5đ
+ Hay
0,5đ
Nhận thấy xy, xy+1 là 2 số nguyên liên tiếp, có tích là số chính phương nên ta có
+
0,5đ
+ Khi xy=0 thì
0,5đ
+ Khi
thì (x=1,y=-1);(x=-1,y=1) 0,5đ
+ Vậy nghiệm của PT là (0,0); (1,-1); (-1,1) 0,5đ
2. Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương


Đặt

+Ta có
0,5đ
Đặt
, ta đi chứng minh

Thật vậy :

Xét



+Như vậy
nên
0,5đ
+Khi đó
0,5đ
+Hay
0,5đ
Bài 2:(4 điểm)
1. Giải hệ phương trình

Giải: Cộng vế với vế tất cả PT của hệ ta có:

0,5đ
Trừ phương trình thứ k cho phương trình thứ k-1 (kHay

Và
0,5đ
Vậy nên
0,5đ
2. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành 2 hàng song song ( mỗi hàng 5 học sinh) sao cho 2 học sinh đối diện bao gồm 1 nam, 1 nữ.

Giải : Có 4 trường hợp
Trường hơp 1: 0,5đ
+ Có A5=5! cách xếp 5 em nam 1 hàng và 5! cách xếp 5 em nữ 1 hàng. Vậy có P1 =5!5!
Trường hợp 2: 0,5đ
+ Có
cách xếp 4 em nam vào 1 hàng và 5 cách xếp 1 em nữ vào vị trí còn lại.
Có 4! cách sắp xếp 4 em nữ đối diện ở hàng thứ hai và 1! cách sắp xếp 1 em nam