đề thi học sinh giỏi tỉnh hậu giang 2012-2013

SỞ GD&ĐT HẬU GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28/02/2012
(Đề thi có 01 trang, gồm 06 bài)

Bài 1: ( 2.0 điểm ) Rút gọn biểu thức

Bài 2: ( 3.5 điểm )
a) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 + … + 22014 chia hết cho 31. b) Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 3: ( 3.0 điểm ) Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên

Bài 4: ( 3.5 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = - x2 có đồ thị (P), đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -4 và 2.
a) Viết phương trình đường thẳng (d).
b) Tìm điểm M trên cung AB của (P) có hoành độ x thuộc đoạn [-4; 2] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
c) Tìm điểm N trên trục Ox để tổng AN + BN nhỏ nhất.
Bài 5: ( 3.5 điểm ) Cho tam giác MNP cân tại M Gọi D là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác MNP. Biết DM cm, DN = 3 cm. Tính độ dài đoạn MN.
Bài 6: ( 4.5 điểm ) AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R (B, C là tiếp điểm). Vẽ CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D.
a) Chứng minh CO = CD.
b) Chứng minh tứ giác OBDC là hình thoi.
c) Gọi M là trung điểm của CE, BM cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm cña OH.
d) Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng.

----------------------------HẾT--------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị không giải thích gì thêm

Bài 1: ( 2.0 điểm ) Rút gọn biểu thức
KQ:=-1
Bài 2: ( 3.5 điểm )
Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 + … + 22014 chia hết cho 31.
C=( 1 + 2 + 22 + 23+24)+( 25+26+27+28+29)+…+(22010+22011+22012+22013+22014 )
=31+25.31+….
=31(1+25+210..+22010) chia hết cho 31
b) Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức



Gợi ý:
Từ x2 + y2 – xy = 1 <=> 2x2 + 2y2 – 2xy = 2
<=> A + (x – y)2 = 2
<=> Max A = 2 khi x = y
Mặt khác: 2x2 + 2y2 = 2 + 2xy
2x2 + 2y2+x2+y2= 2 + 2xy+x2+y2
<=> 3A = 2 + (x + y)2 >=2
=> A >=2/3 min A = 2/3 khi x = - y

Bài 3: ( 3.0 điểm ) Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên
…………………………..


Bài 4: ( 3.5 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = - x2 có đồ thị (P), đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -4 và 2.
a) Viết phương trình đường thẳng (d).
b) Tìm điểm M trên cung AB của (P) có hoành độ x thuộc đoạn [-4; 2] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
c) Tìm điểm N trên trục Ox để tổng AN + BN nhỏ nhất.

a.y=2x-8
b.Xét điểm M bất kỳ thuộc P sao cho M(m;-m2). Gọi C, D, N’ lần lượt là hình chiếu của A, B, M trên trục hoành
Ta có NC=6
CD