Đề thi học sinh giỏi lớp 9

PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
ĐỨC PHỔ MÔN TOÁN NĂM HỌC 2009-2010
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu 1) (6 điểm)
Cho ba chữ số a, b, c khác nhau và khác 0. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số được lập bởi cả ba chữ số trên. Tính tổng các phần tử của tập hợp A, biết rằng a + b + c = 17.

Chứng minh rằng biểu thức 99999 + 111111
không thể biểu diễn dưới dạng
trong đó A, B là các số nguyên.

Rút gọn biểu thức:


Câu 2) (4,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có AB = a. Lấy điểm M tùy ý trên đường chéo AC. Kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB, BC. Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 3) (5 điểm)
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện
. Tính tổng:


b- Chứng minh rằng biểu thức:
có giá trị
; tìm a để
.

Câu 4) (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
Chứng minh:

Chứng minh rằng: Nếu diện tích tam giác ABC gấp hai lần diện tích tứ giác ADHE thì tam giác ABC là tam giác vuông cân.


-------------------- Hết ------------------

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)