đề thi hoc sinh giỏi huyện Cát Tiên năm 2011-2012

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn: TOÁN 9
Khoá ngày 07/01/2012

Bài 1 (1,5 điểm) Rút gọn


NỘI DUNG
ĐIỂM



0,5

0,5
0,5

Bài 2 (1,0 điểm) Cho hai đường thăng (d1): y = (m2-1)x – 3
(d2): y = (2m2+5)x + m
Chứng tỏ (d1) luôn cắt (d2) với mọi m
NỘI DUNG
ĐIỂM

(d1) cắt (d2) ( a1 ≠ a2
( m2 – 1 ≠ 2m2 + 5
( m2 ≠ - 6 (luôn đúng với mọi m)
Chứng tỏ rằng (d1) luôn cắt (d2) với mọi m
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 3 (1,0 điểm) Cho biết
. Hãy tính giá trị của biểu thức

NỘI DUNG
ĐIỂM

Từ
suy ra 6x = 5x + 5
( x = 5
Thay x = 5 vào biểu thức B ta được:

Vậy B =

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 4 (1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 12 + x – x2
NỘI DUNG
ĐIỂM

C = 12 + x – x2 = - (x2 – x – 12)
= - [(x – ½)2 – 49/4]


Vì
với mọi x nên MaxC
khi x =

0,25
0,25

0,5
0,5


Bài 5 (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
với x, y ≥ 0
NỘI DUNG
ĐIỂM


với x, y ≥ 0
=




0,5

0,5

0,5
0,5

Bài 6 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB =
cm, HC = 3cm. Tính cạnh huyền BC.
NỘI DUNG
ĐIỂM



Gọi BH = x cm , x > 0
Suy ra BC = x + 3 (cm)
(ABC vuông tại A, đường cao AH có: AB2 = BH.BC
( (
)2 = x (x + 3)
( x2 + 3x – 10 = 0
Giải và tìm được hai nghiệm là: x = 2 hoặc x = - 5 (loại)
Vậy BC = 5 cm.







0,25
0,25

0,25
0,25

0,5
0,5

Bài 7 (1,5 điểm) Chứng minh rằng D = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 với n ( N
NỘI DUNG
ĐIỂM

D = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 = n4(n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1)
= n4.(n+1)4
= [n(n+1)]4
Vì n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
Vì vậy [n(n+1)]4 ( 24 = 16
Vậy D chia hết cho 16 với mọi n ( N
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 8 (1,5 điểm) Tìm tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của phương trình x + y = xy
NỘI DUNG
ĐIỂM

x + y = xy
( x – xy – 1 + y = -1
( x(1-y) – (1 – y) = -1
( (1 – y).(x – 1) = -1




Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình là S = {(0;0);(2;2)}



0,5





0,5







0,25
0,25

Bài 9 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình (I)

NỘI DUNG
ĐIỂM

(I) (

(
(II)
Giải hệ và tìm được 1 nghiệm của hệ (II)
Kết luận được nghiệm của hệ là (x;y;z) = (1;2;3)



0,5





0,5




0,5
0,5

Bài 10 (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC >