DE THI GVG 2013 MON TOAN

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI THCS NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút



I. PHẦN NHẬN THỨC CHUNG

II. PHẦN CHUYÊN MÔN

Câu 1: Gọi a, b, c là ba nghiệm của phương trình x3 – 9x2 + 24x – 18 = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức P =

Câu 2: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC, CA, AB. Đường thẳng qua P, song song với BC, cắt đường tròn (PB1C1) tại điểm A2. Các điểm B2, C2 được xác định bằng cách tương tự.
Chứng minh rằng: Các đường thẳng AA2, BB2, CC2 đồng quy.
Chứng minh tam giác ABC và A2B2C2 đồng dạng.
Câu 3:
Cho m, n là các số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn x2 + y2 = (m2 + n2)z trong mỗi trường hợp z lẻ và z chẵn.
Chứng minh rằng: Phương trình x2 + y2 = 13z có vô số nghiệm nguyên dương.
Câu 4: Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của tổng S =

Câu 5: Cho trước số nguyên dương k. Có 2k chiếc kẹo, được chia vào một số túi. Với hai túi A, B bất kỳ, có số kẹo tương ứng p, q; nếu p ≥ q thì chuyển q chiếc kẹo từ túi A sang túi B. Chứng minh rằng: Bằng cách làm như vậy, sau hữu hạn lần chuyển, tất cả các chiếc kẹo đều được chuyển vào một túi.


------------ Hết -------------