De thi dap an HSG Toan HB 2010

SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
ĐỀ CHÍNH THỨC LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN: TOÁN
(Ngày thi 23/12/2010 . Thời gian làm bài 180 phút)
---------------------------------------

Câu 1. (5 đ)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau:


Cho hàm số
. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B thỏa mãn OA = 4OB.

Câu 2. (6 đ)
Giải phương trình:

Giải phương trình:

Giải hệ phương trình:


Câu 3. (2 đ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác đó, biết BC và BG lần lượt có phương trình là: x – 2y – 4 = 0;
7x – 4y – 8 = 0 và đường thẳng CG đi qua điểm E(–4;1). Viết phương trình đường cao AH

Câu 4. (2 đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:



Câu 5. (4 đ) Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a
Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
.

Câu 6. (1 đ) Tính các góc của tam giác ABC biết: 2sinA.sinB.(1 – cosC) = 1


------------------------ Hết ------------------------

Copyright by L­u C«ng Hoµn


Gi¸o viªn m«n To¸n, tr­êng THPT Nam L­¬ng S¬n –L­¬ng S¬n – Hßa B×nh



ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG MÔN TOÁN TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2010 – 2011

***
Copyright by L­u C«ng Hoµn
***
.................. Start ..................

Câu 1. (5 đ)
1. Ta có:


Đặt sinx = t, (với
), thì

Xét hàm số
trên [–1;1]
Ta có
nên f(t) nghịch biến trên [–1;1]




Từ đó suy ra:


2. Ta có:

Do tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B thỏa mãn OA = 4OB, nên gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đó thì

TH1:
, hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình:

(P.tr vô nghiệm)
TH2:
, hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình:


Với x = –1, ta có p.trình tiếp tuyến cần tìm là:


Với x = 3, ta có p.trình tiếp tuyến cần tìm là:


Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

và



Cách khác:
Ta có:

– Gọi
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

.
– Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
có dạng:


– Tiếp tuyến cắt Ox tại
; cắt trục Oy tại

– Theo giả thiết:


P.tr t.tuyến
Chú ý: PP này tổng quát hơn có thể giải cho 1 lớp các bt về tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện nào đó.

Câu 2. (6 đ). 1. Giải phương trình:

Điều kiện:
. Khi đó:







(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:

Cách khác: Với điều kiện:
, ta có:






Kết hợp 2 họ nghiệm trên, ta được p.trình đã cho có các nghiệm là:

2. Giải phương trình:

Điều kiện:
. Khi đó:

(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho 2 nghiệm là: x = 2 ; x =


3. Giải hệ phương trình:

Điều kiện:
. Khi đó, ta có:



. Thế y = 4 – x vào ptr (2) ta được:




Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (x;y) là:




Câu 3.(2 đ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác đó, biết BC và BG lần lượt có phương trình là: x – 2y – 4 = 0;
7x – 4y – 8 = 0 và đthẳng CG đi qua điểm E(–4;1). Viết phương trình đường cao AH.
Giải:
– Gọi
lần lượt là các vec tơ pháp tuyến của các đường thẳng BG, BC và CG.
– Ta có: Tam giác ABC cân tại A








Chọn

Với

loại trường hợp này.
Với
, phương trình đường thẳng CG
đi qua E(–4;1) và có VTPT
là:

– Vì
, nên tọa độ của điểm G là nghiệm của hệ phương trình:


– Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến. Vậy đường cao AH đi qua G nhận
làm VTCP nên có ph.trình tham số:


hay ph.trình tổng quát của AH là: 2x + y – 3 = 0

Cách khác:
– Vì

tọa độ của điểm B(0;–2)
– Dễ thấy

đường thẳng BG. Gọi N là điểm đối xứng với M qua BC
N(8;–3)
– Vì
ABC cân tại A nên CG//BN. Vậy đường thẳng CG đi qua E(–4;1) và
có VTCP
là:

– Vì



– Từ đó suy ra phương trình đường cao AH: 2x + y – 3 = 0

Câu 4. (2 đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

(1)
Giải:
Ta có:

Do đó pt (1) có nghiệm
pt (*) có nghiệm


m
tập giá trị của hàm số
trên

Xét hàm số
trên
.
Ta có
. Suy ra bảng biến thiên của hàm số f(x) trên
là:

x
 1 + (

f’(x)
 0 +

f(x)
 + (


–1


Dựa vào BBT ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm thì giá trị m cần tìm là:


Câu 5. (4 đ) Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a
1. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
2. Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
.
Giải:

1. C/m
.
– Từ giả thiết hình chóp S.ABCD có SA = x, các cạnh còn lại của hình chóp có độ dài bằng a nên dễ dàng nhận thấy:
ABCD là hình thoi cạnh a;
SBD tam giác cân tại S.
– Gọi
là giao điểm 2 đường chéo hình thoi
I là trung điểm của BD
– Từ đó suy ra:


2. Gọi H là hình chiếu của S lên AC, ta có:




Mặt khác, ta có:


là tam giác vuông tại S

và

Do đó:
. Yêu cầu bài toán tìm x theo a để



Vậy giá trị x cần tìm là
.






Câu 6. (1 đ) Tính các góc của tam giác ABC biết: 2sinA.sinB.(1 – cosC) = 1 (*)
Giải:
– Vì A,B, C là 3 góc của tam giác ABC nên ta có:


– Ta có thể coi (**) là 1 phương trình bậc hai với ẩn là cosC. Vì tam giác ABC đã cho trước nên pt(**) phải có nghiệm




– Từ đó suy ra:

Vậy ABC là tam giác vuông cân tại C, nên có các góc


................ The end ................

Copyright by L­u C«ng Hoµn
Gi¸o viªn m«n To¸n, tr­êng THPT Nam L­¬ng S¬n –L­¬ng S¬n – Hßa B×nh