Đề thi chuyên toán tin

Bài 1: (2điểm) Cho hệ PT: 1) Giải hệ PT khi m=2008 2) CM hệ PT đã cho có không có quá 1 nghiệm khi
Bài 2: (2điểm) Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt:
1) Chứng minh nếu 2 số
không chia hết cho 5 và chia cho 5 có số dư khác nhau thì
chia hết cho 5. 2) Tìm số tự nhiên n lẻ để
là số chính phương. Bài 3: (2điểm) Cho a là số thay đổi thoả mãn
, tìm giá trị lớn nhất của b sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng:
Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ 2 đường tròn
và
lần lượt có đường kính AB và AC. Gọi H là giao điểm thứ 2 của
và
. Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn
,
lần lượt tại điểm D, E sao cho A luôn nằm giữa D và E. 1) CMR đường trung trực của đoạn DE luôn đi qua 1 điểm cố định khi đường thẳng d thay đổi. 2) Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn nhất đó theo b và c với AC=b và AB=c. 3) Đường thẳng đi qua trung điểm của DE và vuông góc với BC cắt BC tại K. CMR:[tex]KB^2 = BD^2 + KH^2/[tex] Bài 5: (1 điểm) Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kì thuộc tập hợp: {0,1,2,…,14}. CM tồn tại 2 tập hợp con
và
của tập hợp A (
,
khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng tất cả các phần tử của tập hợp
bằng tổng tất cả các phần tử của tập hợp
.