ĐỀ Thi Chon giáo viên giỏi Toán 2012-2013 cấp huyện

PHÒNG GD& ĐT SÔNG LÔ HỘI THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ THI NĂNG LỰC MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề)


Bài 1 ( 3 điểm). Giải hệ phương trình:




Bài 2 (4 điểm).
a/ Phân tích thành nhân tử: (x+y+z)3 – x3 –y3 –z3
b/ Chứng minh (a+b+c)3 – ( a+b-c)3 –(b +c –a)3 – (c +a – b)3
chia hết cho 24 với a, b, c ( Z.
Bài 3 (4 điểm).
a/Xác định p và q sao cho phương trình x2 + px +q = 0 có hai nghiệm là p và q.
b/Cho x2 +y2 +z2 =1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
M= x +2y +3z
Bài 4: (3 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:


Bài 5: (6 điểm)
a/ Cho tam giác cân ABC (BA = BC) . Trên cạnh AC chọn điểm K ở giữa A và C, còn trên tia AC đặt CE = AK. Chứng minh rằng:
BK + BE > AB +BC
b/ Cho ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Gọi O1, O2 lần lượt là các điểm đối xứng của O qua BC, DE. Chứng minh O là trọng tâm
AO1O2.
----Hết----
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.)



Họ tên thí sinh: ……………………………….. SBD: ……………..
Đáp án và thang cho điểm:

Bài
Đáp án
Điểm

Bài 1:
Đ/k để căn thức có nghĩa: x ≥0 , y ≥ 0.
Bình phương cả hai vế của phương trình thứ nhất, ta được
x +y +1 +2
=1
x +y +2
=0
Vì x ≥0 , y ≥ 0 nên đẳng thức trên chỉ xảy ra khi x = y = 0.
Thử lại ta thấy rằng đó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x=0; y=0)

0,5

0,5

1

1

Bài 2:
a/ (x+y+z)3 = x3 + y3+z3 +3x2(y+z)+3y2(z+x) +3x2(x+y) +6xyz
Do đó (x+y+z)3 - x3 - y3 - z3 = 3(x2y +x2z + y2x +y2z + z2x +z2y +2xyz)
=3(x+y)(y+z)(z+x)
0,5
0,5

1


b/ Đặt a+b-c = x, b+c-a =y, c+a –b =z
=> a+b+c = x+y+z, x+y = 2b, x+z=2a, y+z =2c
Theo câu a: (a+b+c)3 - (a+b-c)3 - (b+c -a)3 - (c+a -b)3 = (x+y+z)3 - x3 - y3 - z3
=3(x+y)(y+z)(z+x) =24abc 24 (đpcm)

0,5
0,5

1

Bài 3:
a/ Từ các hệ thức Viet cho phương trình bậc hai, suy ra
p+q = - p
pq = q

Từ hệ thức thứ hai ta thấy rằng:
1. hoặc q = 0, khi đó ta sẽ có p=0 do hệ thức thứ nhất.
2. hoặc q ≠ 0, thế thì p =1 , và ta có q = -2 do hệ thức thứ nhất.
Vậy tất cả các cặp p, q thỏa mãn bài toán là
(0,0) và (1, -2)


0,5

0,5
0,5

0,5


b/Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho ba số ta được
M2= (x+2y+3z)2 ≤ (1+22 +32)(x2 +y2 +z2 ) = 14
Suy ra -
≤ M ≤

Vậy giá trị lớn nhất của M bằng
đạt được khi
x =
; y=
; z =

giá trị nhỏ nhất của M bằng -
đạt được khi
x = -
; y= -
; z = -
.