ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 Vong1_02_03

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2002-2003.
----------------------- -------------------------------------------------
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (VÒNG 1).
SBD : (150 phút, không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Bài 1: (3.5 đ) Giải hệ:
.


Bài 2: (3.5 đ) Cho hai nữa đường thẳng Ax, By chéo nhau. Hai điểm C, D thay đổi lần lượt ở trên Ax và By sao cho:
.
a/Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) chứa CD và song song với AB luôn luôn đi qua một điểm cố định I trong mặt phẳng (Q) chứa Ax và (Q) song song By.
b/Tìm vị trí của C và D sao cho thể tích tứ diện ABCD là nhỏ nhất.

Bài 3: (3.0 đ)
a/ Trong mặt phẳng Oxy, cho một đường tròn (C) cắt parabol (P): y = x2 tại bốn điểm, một điểm có tọa độ là (1;1) và ba điểm còn lại là ba đỉnh của một tam giác đều. Tính bán kính của đường tròn (C).
b/ Tìm tập hợp các tâm của những tam giác đều có ba đỉnh thuộc parabol (P): y = x2 .



____________________________________
























SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2002-2003.
-----------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 12 -VÒNG 1.

Bài 1: (3.5 đ) Giải hệ:
. (I)
(0.5 điểm) (I) (

(1.5 điểm) Giải hệ (II):
(II)

(4) ( -2cos2(x + y) + cos(x - y) +1 ( 0 ( - [cos(x + y) - 1].[2cos(x + y) +1] 0
( cos(x + y) (
hay cos(x + y) ( 1.
Do đó: (II) (

Giải (IV):



Giải (V):



(1.5 điểm) Giải hệ (III):
Đặt t = x + ( thế vào (III) ta được :
.
Theo (II) ta được:

Do đó: (III)
.
Vậy hệ có các họ nghiệm:
;





Bài 2: (3.5 điểm)
a/ ( 2 điểm)
Hình vẽ: Dựng Ay’ // By. D’ trên Ay’ sao cho:
AD’ = BD.
(P) là mp(DCD’), (Q) là mp(Ax, Ay’).
Nhận xét: Với I tùy ý trên D’C. Gọi M, N là các
điểm trên Ay’,Ax sao cho: MI//Ax, NI // Ay’.
Ta có:


.
Với C,D là hai điểm tùy ý thỏa giả thiết. Trên CD’ tồn tại điểm I sao cho :
.
Ta được:

và:

Từ (3) và (4) suy ra M. N cố định nên I cố định. Do đó (P) luôn đi qua điểm cố định I trong mặt phẳng (Q).
b/ (1.5 điểm)
Do (ABD = (AD’D nên thể tích V của tứ diện ABCD bằng thể tích tứ diện DACD’.
Do D ở trên By // (Q) nên khoảng cách từ D đến (ACD’) không đổi, nên thể tích V nhỏ nhất khi và chỉ khi diênh tích S của tam giác AD’C nhỏ nhất.
S =
AC.AD’.sinA =
.AC.BD.sinA nên: S nhỏ nhất ( AC.BD nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương:
ta có:


Dấu bằng xảy ra khi:
và
.
Vậy: V nhỏ nhất khi:
,
.
Bài 3: ( 3 điểm)
a/( 1.5 đ) (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2. (C) qua điểm (1;1) nên: R2= (1 – a)2 + (1 – b)2 .
Hoành độ x1, x2, x3 của ba đỉnh tam giác đều và x = 1 là nghiệm của phương trình:
(x – a)2 + (y – b)2 = (1 – a)2 + (1 – b