ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 Toan_PD

SỞ GD – ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT PHONG ĐIỀN KHỐI 12 THPT – NĂM HỌC 2007 – 2008

MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút


BÀI 1 : (3 điểm)
Giải phương trình :

BÀI 2 : (3 điểm)
Không giải phương trình bậc ba x3 – x + 1 = 0 hãy tính tổng các luỹ thừa bậc tám của ba nghiệm số của nó .
BÀI 3 : (5 điểm)
Cho hàm số f(x) xác định như sau :



Chứng minh rằng f(x) có đạo hàm tại x0 = 1 .
Tìm c trong Định lí Lagrăng của hàm số f(x) trên đoạn [0 ; 2] .
BÀI 4 : (5 điểm)
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M nào đó .Gọi A’ , B’ , C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các đường thẳng BC , CA , AB .Tìm quỹ tích những điểm M sao cho :
MA.MA’ = MB.MB’ = MC.MC’.

BÀI 5 : (3 điểm)
Gọi M là tập hợp tất cả các hàm số f xác định với mọi số nguyên và nhận những giá trị thực , thoả mãn các tính chất sau đây :
Với mọi số nguyên x và y thì : f(x) . f(y) = f(x + y) + f(x – y) .
f(0) ( 0 .
Tìm tất cả các hàm số f ( M sao cho
.

---------------- Hết --------------












SỞ GD – ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT PHONG ĐIỀN KHỐI 12 THPT – NĂM HỌC 2007 – 2008

MÔN : TOÁN
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM


BÀI 1
NỘI DUNG
ĐIỂM

(3 đ)


0,5




0,5


Rút gọn và đưa tới kết quả :

1,0


Giải ra kết quả :

1,0

BÀI 2
NỘI DUNG
ĐIỂM

(3 đ)
Xét phương trình bậc ba : x3 – x + 1 = 0 (1)
Theo định lí Viét , ta có : x1 + x2 + x3 = 0 ; x1x2 + x2x3 + x3x1 = - 1 ; x1x2x3 = -1
0,5


Từ (1) ta có : xi3 = xi – 1 ( xi5 = xi3 – xi2 = - xi2 + xi - 1( i = 1 , 2 , 3 )
( xi8 = xi5.xi3 = 2xi2 – 3xi + 2
1,5


Từ đó ta suy ra : x18 + x28 + x38 = 2(x12 + x22 + x32 ) + 6 (2)
x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3 )2 – 2(x1x2 + x2x3 + x3.x1) = 2
Thay vào (2) ta được : x18 + x28 + x38 = 10
1,0

BÀI 3
NỘI DUNG
ĐIỂM

Câu 1 :
(2 đ)


0,75





0,75


Từ (1) , (2) suy ra :
( Tồn tại f’(1) ( ĐPCM
0,5

Câu 2 :
(3 đ)
Xét hàm số f(x) trên đoạn [0 ; 2] .Theo câu 1 , suy ra tồn tại f’(x) , (x((0 ; 2) .
Vậy mọi điều kiện của định lí Lagrang đều thoả mãn .Theo định lí Lagrang thì tồn tại c , 0 < c < 2 sao cho : f(2) - f(0) = 2f’(c) .
(

(
(3)


Ta có :
(4)
Từ (3) và (4) suy ra :
thì
.
Vậy : Có hai hằng số
ứng với định lí Lagrang áp dụng cho hàm số f(x) trên đoạn [0 ; 2] .





1,5








1,5

BÀI 4
NỘI DUNG
ĐIỂM

(5 đ)
Xét (ABC có ba góc nhọn .Hệ thức đã cho có thể viết :


Suy ra hai tam giác MAB’ và MBA’ đồng dạng từ đó : góc MAB’ = góc MBA’
Tương tự : góc MBC’ = góc MCB’ ; góc MCA’ = góc MAC’
1,5


 Từ ba đẳng thức về góc