ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 toan_pb

SỞ GD&ĐT TT - HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Năm học: 2007 – 2008)
TRƯỜNG THPT PHÚ BÀI Môn : TOÁN - Thời gian : 180 phút



Bài 1: Cho hàm số
, trong đó c > 0,
.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Từ đó suy ra:
với a, b tuỳ ý và
,


Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)

b)


Bai 3:
a) Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho:

b) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 4 điểm A(a, 0), B(b, 0), M(m, 0), N(n, 0), trong đó a, b không đổi còn m, n thay đổi sao cho ta luôn có:
. Tìm tập hợp giao điểm các đường thẳng AN và BM.
Bài 4: Chứng minh rằng


























ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Bài
Nội dung
Điểm

1
+ TXĐ: D = R
+

- Nếu n chẵn thì n – 1 lẻ:



- Nếu n lẻ thì n – 1 chẵn :



+



Vì
nên hàm số f(x) đạt cực tiểu tại



+
là đa thức liên tục, có nghiệm duy nhất trên R là
nên không đổi dấu trong các khoảng
và khoảng

Từ đó, lập bảng biến thiên:
+ Theo trên, ta có
(1)
Với a, b tuỳ ý và a + b > 0, đặt a + b = c suy ra b = c – a
Từ (1)
(2)
Nếu a + b = 0
dấu bằng xảy ra khi n lẻ.
Vậy (2) đúng với a, b tuỳ ý và
,
. Dấu ở bằng (2) xảy ra n = 1 hoặc a = b hoặc a = -b và n lẻ.
2,5đ

2
a) ĐK:

* Nếu sinx < 0 thì phương trình vô nghiệm
* Nếu sinx > 0:
+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế phải, ta có:

(*)
+ Áp dụng bất đẳng thức
cho vế trái, ta có:


Vậy phương trình có nghiệm khi (*) và (**) đều xảy ra dấu bằng, tức là:


1,5đ


b) ĐK:
(*)
Đặt
. Ta có
Phương trình đã cho tương đương với

Ta có:
mà

Do đó:

Nhận thấy phương trình có một nghiệm y = -1 và Chứng minh y = -1 là nghiệm duy nhất.
Từ đó:

Mà do ĐK (*) nên chỉ nhận:

1,5đ

3
a)





M thuộc miền trong và cả biên của đường tròn tâm O, bán kính


1,5đ



b) + AN: nx + ay = na
+ BM: bx + my = mb
+) Toạ độ giao điểm của các đường thẳng AN và BM là nghiệm của hệ:


Từ đó, ta có:

Do
nên

Suy ra:

Vậy tập hợp giao điểm của các đường thẳng AN và BM là đường thẳng có phương trình:


1,5đ

4
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

Mặt khác

Xét hàm số



Từ đó suy ra đpc/m ( dấu bằn xảy ra khi x = 0)
1,5đ