ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 toan_ndc

SỞ GD & ĐT T T HUẾ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
TRƯỜNG THPT MÔN TOÁN _ Thời gian làm bài : 150 phút
NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU ( Không kể thời gian giao đề )
********* **********

Bài 1 :
1/. Chứng minh rằng
ta có :
.
2/.
.

Bài 2 : Cho f(x) = nxn+1 – 3(n+1)xn + an+1.
1/. Khi n = 2007, giải phương trình : f(x) = 0 với
.
2/. Chứng minh rằng :
thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

Bài 3 : Cho hàm số :
. Tìm những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1, sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.

Bài 4 : Cho (ABC, lấy điểm P trên cạnh BC, qua P kẻ PN // AB ; PM // AC. Xác định vị trí điểm P sao cho MN có độ dài ngắn nhất.

Bài 5 : Giải hệ phương trình:




----------------- HẾT ----------------

















ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài
Ý
Nội dung
Biểu điểm

1
1/.
Đặt



( f(x) là hàm số giảm, nên : f(x) < f(0) ( x > 0.
Ta có :

Đặt



( g(x) là hàm số tăng, nên : g(x) > g(0) ( x > 0.
Ta có :

Từ (1) và (2), ta có :
( x > 0.(*)





0,5





0,5


0,25


2/.
Từ (*) thay x bởi :
, ta có :

(

Nên : lim un =
.








0,5

0,25

2
1/.
Khi n = 2007 , f(x) = 0 ( 2007x2008 – 3.2008x2007 + a2008 = 0
Đặt g(x) = 2007x2008 – 3.2008x2007 + a2008 . với a ≥ 3 .
g/(x) = 2008.2007.x2006( x – 3 ).
g/(x) = 0 (


g(x) ≥ g (3) ≥ 0 với a ≥ 3 .
- - + a = 3 : g(x) = 0
( g(x) = g(3) khi x = 3
a > 3 : g(x) > g(3) > 0
CT
Vậy phương trình có nghiệm x = 3 khi a = 3
Phương trình vô nghiệm khi a > 3.



0,5





0,5


0,25


2/.
Với n lẻ ; a > 3 :
Đặt f(x) = nxn+1 – 3(n+1)xn + an+1.
f/(x) = n(n+1).xn( x – 3 ).
f/(x) = 0 (

Tương tự như câu (a ), ta có : f(x) ≥ f( 3) , với a > 3 thì f(3) > 0.
Vậy phương trình vô nghiệm .




0,5


0,25

3

Phương trình tiệm cận đứng : x = 1.
Phương trình tiệm cận xiên : y = x + 1.
Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận , thì I ( 1 ; 2 ).


Gọi

Phương trình tiếp tuyến tại A là :
.
(d) cắt tiệm cận đứng tại B thì tọa độ của
.
(d) cắt tiệm cận xiên tại C thì tọa độ của
.
Ta có :



CV = IB + IC + BC
=IB+IC+


CVmin=



Vậy


0,25




0,25


0,25


0,5


0,25




0,5


0,25

0,25

4




Đặt

Do đó :




.
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC thì :


MNQB là hình bình hành.
MN ngắn nhất
BQ ngắn nhất
.