đề khảo sát học sinh giỏi toán 9 ( cố đáp án)

đáp án khảo sát học sinh giỏi

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho là số nguyên dương
Giải: Ta xét bài toán phụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x + y + z = xyz (1). Không mất tính tổng quát ta giả sử x≥ y ≥ z => x + y + z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz > z2 => z = 1. Từ . Từ đó tìm được các nghiệm (x,y,z) = (3,2,1) và các hoán vị của nó.
Trở lại bài toán (N* => x(x2+1) ( (xy-1) => x2+1 ((xy – 1) vì (x; xy – 1) =1 => (x2+1 +xy -1)(xy – 1 ( (x2 + xy ) ((xy – 1) ( x(x+y) ((xy-1) ( (x + y) ( (xy – 1) vì (x; xy-1)=1. Hay (x+y) ((xy – 1)z ( z (N*). áp dụng bài toán phụ => (x,y) thỏa mãn đề bài là (1;2); (2; 1) ; (1;3); (3;1) ; (2;3) ; (3;2)
Câu 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau
a)
Giải: (1) . ĐKXĐ: x≥1 (*) . Đặt (y ≥0) => x = y2 + 1 khi đó (1) ( ( ( (
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm và
b)
Giải: Xét (2) Để hệ có nghiệm (x ≥ 0 => 1≤ y ≤ 7/3. Biến đổi (2) ta được (x+y)2 +( x – 3)2 + y2 -8y +1 = 0. Do (x + y )2 + ( x – 3)2 ≥ 0 => y2 -8y+1 ≤ 0 => Phương trình (2) vô nghiệm => Hệ phương trình vô nghiệm
Câu3: Cho a, b, c là các số thực dưthỏa mãn a2 + b2 +c2 = 3. Chứng minh rằng:
12+ 9abc ≥7(ab + bc + ca)
Giải: Đặt a + b + c = S ta suy ra BĐT cần chứng minh trở thành 456 +18abc – 7S2 ≥ 0. áp dụng bất đẳng thức Schur’s ta có
(a + b + c )3 +9abc ≥ 4( a +b + c)(ab + bc + ca). Ta được: S3 + 9abc ≥ 4S(S2 – 3) . Hay
9abc ≥ S3 – 6S ( 45 + 18 abc -7S2≥ 45 +2(S3 -6S) -7S2 = ( S – 3) (2S + 5) ≥ 0. Đẳng thức xảy ra ( a = b = c = 1
Câu 4: Cho (0; R) cố định, điểm A cố định ở ngoài (O) sao cho OA = 2R. BC là một đường kính quay xung quanh O ( A; C; A không thẳng hàng). Đường tròn ngoại tiếp (ABC cắt đường thẳng OA tại I ( I≠ A).
a) Chứng minh rằng OA. OI = OB.OC
b) AB và AC cắt (O) lần lượt tại D và E, DE cắt OA tại K. Chứng minh rằng các điểm E, I, K, C cùng thuộc một đường tròn. Tính AK theo R
c) Chứng minh rằng khi BC quay xung quanh O thì tâm đường tròn ngoại tiếp ADE di chuyển trên một đường cố định
Bài giải:
a) Dễ thấy (OAB ( ( OCI=>
b) Ta có


=> (EKIC nội tiếp, hay bốn điểm
E,I,K,C cùng thuộc một đường tròn
+ Tính AK theo R:
Ta có OA.0I = OB. OC = R2
=>