ĐỀ KHẨO SÁT CHẤT LƯỢNG THCS NGUYỄN DU 10.3.2016

Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức
với

a) Rút gọn biểu thức
.
b) Tìm
để
.
c) Với biểu thức
ở trên và
, hãy tìm giá trị nguyên của
để
nhận giá trị nguyên.
Bài 2:(2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một xe máy đi từ
đến
trong một thời gian dự định. Nếu tăng vận tốc thêm
thì đến
sớm hơn dự định
giờ. Nếu giảm vận tốc đi
thì đến
muộn hơn
giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của người đó ?
Bài 3:(1,5 điểm)
Cho phương trình

a) Giải phương trình khi
;
b) Tìm
để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4:(3,5 điểm)
Cho đường tròn
có dây cung
cố định. Gọi
là điểm chính giữa cung nhỏ
, kẻ đường kính
cắt
tại
. Lấy điểm
bất kỳ trên cung lớn
cắt
tại
. Hai đường thẳng
và
cắt nhau tại
.
a) Chứng minh tứ giác
nội tiếp.
b) Chứng minh
.
c) Gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
, chứng minh
thuộc đường tròn
và
là phân giác của
.
d) Xác định vị trí của điểm
trên cung lớn
để tích
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5:(0,5 điểm)
Cho
,
là các số thực dương thỏa mãn
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.











HƯỚNG DẪN
Bài 1:
Với
, ta có:


Với
, ta có:


Vậy với
thì

Với
, ta có:


Với
, biểu thức
nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi
nhận giá trị nguyên














Vậy
thì biểu thức
nhận giá trị nguyên.
Bài 2:
Gọi vận tốc người đó dự định đi là

Gọi thời gian dự định người đó đi từ A đến B hết là:

Thì quãng đường AB là:

Nếu người đó tăng vận tốc thêm
thì đến B sớm hơn dự định 2 giờ, nên vận tốc khi đó là
và thời gian đi từ A đến B hết là
.
Nên ta có phương trình :
(1)
Nếu giảm vận tốc đi
thì đến B muộn hơn 1 giờ nên vận tốc khi đó là
và thời gian đi từ A đến B hết là
.
Nên ta có phương trình :
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :


Vậy vận tốc người đó dự định đi là

Thời gian dự định người đó đi từ A đến B hết là:

Bài 3:(1,5 điểm)
Cho phương trình
(1)
Với
ta có
khi đó:


Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

;

Vậy với
, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
;

b) Tìm
để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình
(1)
Ta có

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì

Vậy
thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Bài 4:(3,5 điểm)



a) Ta có:
(đường kính và dây cung)


Ta lại có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)


Từ
suy ra tứ giác
nội tiếp đường tròn đường kính
.
b) Xét
và
có:



chung

đồng dạng với


.


c) Xét
có:


là hai đường cao của
.
Mà
cắt nhau tại
nên
là trực tâm của
.



thuộc đường tròn
.
Xét tứ giác
có
. Suy ra tứ giác
nội tiếp đường tròn.

(góc nội tiếp cùng chắn
)

Vì tứ giác
nội tiếp
(góc nội tiếp cùng chắn
)

Từ
và
suy ra
hay
là phân giác của
.
d) Xét
và
có



chung

đồng dạng với



Mà
không đổi. Do đó
đạt giá trị lớn nhất khi
đạt giá trị lớn nhất.
Vậy
là đường kính hay
.

Bài 5:(0,5 điểm)
Cho
,
là các số thực dương thỏa mãn
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số dương
và
, ta được:
(1)
Áp dụng BĐT Cô