ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG NGUYỄN DU 7.4.2016

Bài 1:(2,0 điểm) Cho biểu thức
.Tính giá trị của biểu thức
khi
.
a) Rút gọn biểu thức
với

b) Tìm các giá trị của
để biểu thức
có giá trị nguyên.
Bài 2:(2,0 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai điểm
và
cách nhau
. Một ô tô khởi hành từ
và đi đến
với vận tốc không đổi. Trên quãng đường từ
về
, vận tốc của ô tô tăng thêm
nên thời gian về rút ngắn hơn so với thời gian đi là
phút. Hỏi vận tốc của ô tô lúc đi từ
đến
là bao nhiêu?
Bài 3: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình

2) Cho parabol
và đường thẳng
.
a) Tìm tọa độ giao điểm của
và
khi m=

b) Chứng minh
luôn cắt
tại hai điểm phân biệt với mọi m và

(với
là hoành độ các giao điểm).
Bài 4:(3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm
, đường kính
. Gọi
là trung điểm của
là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn
không trùng với
). Đường thẳng đi qua
và vuông góc với
cắt tiếp tuyến tại
và
của nửa đường tròn lần lượt tại
và
.
a) Chứng minh tứ giác
nội tiếp.
b) Chứng minh
vuông góc với

c) Chứng minh

d) Tìm vị trí của điểm
trên đường tròn
để diện tích tam giác
nhỏ nhất.
Bài 5: (0,5 điểm)
Giải phương trình




HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:
Ta có:
. Thay
(tmđk) vào biểu thức
ta được:







Vì



Từ (1) và (2) suy ra
.
Vậy với
thì
nhận giá trị nguyên.
Bài 2:(2,0 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai điểm
và
cách nhau
. Một ô tô khởi hành từ
và đi đến
với vận tốc không đổi. Trên quãng đường từ
về
, vận tốc của ô tô tăng thêm
nên thời gian về rút ngắn hơn so với thời gian đi là
phút. Hỏi vận tốc của ô tô lúc đi từ
đến
là bao nhiêu?
Giải:
Gọi vận tốc của ô tô lúc đi là

Khi đó, vận tốc của ô tô lúc về là

Thời gian ô tô đi từ
đến
là:

Thời gian ô tô đi từ
về
là:

Vì thời gian về rút ngắn so với thời gian đi là
, nên ta có phương trình:


Vậy: Vận tốc ô tô lúc đi là
.
Bài 3:






Vậy tập nghiệm của phương trình là

Phương trình hoành độ giao điểm của
và
:


Khi
, Thay vào phương trình (1) ta có:



Vậy
cắt
tại hai điểm phân biệt:
và

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của
và
:
(1)
Xét

Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay
cắt
tại 2 điểm phân biệt
Giả sử
là hoành độ giao điểm của
và
, khi đó
là nghiệm của phương trình (1)
Áp dụng định lý Vi-ét ta có:


Theo đề ra ta có:



( luôn đúng )
Vậy
luôn cắt
tại hai điểm phân biệt với mọi m và

Bài 4:(3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm
, đường kính
. Gọi
là trung điểm của
là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn
không trùng với
). Đường thẳng đi qua
và vuông góc với
cắt tiếp tuyến tại
và
của nửa đường tròn lần lượt tại
và
.
a) Chứng minh tứ giác
nội tiếp.
b) Chứng minh
vuông góc với

c) Chứng minh

d) Tìm vị trí của điểm
trên đường tròn
để diện tích tam giác
nhỏ nhất.
Giải:


a) Xét tứ giác
có:

(vì
là tiếp tuyến của
)

(vì
)


Mà hai góc này vị trí đối nhau

Tứ giác
nội tiếp.
b) Xét tứ giác
có:

(vì
)

(vì
là tiếp tuyến của
)
Mà hai góc này vị trí đối nhau

Tứ giác
nội tiếp.

(góc nội tiếp cùng chắn
)

Vì tứ giác
nội tiếp

(