Đề HSG Toán Chuyên Huế 09-10

SỎ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 CHUYÊN - NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút

Bài 1 : (4 điểm)
Cho hàm số : y = 36cosx + 9cos2x + 4cos3x .
a/ Chứng minh rằng : y + 31 ≥ 0 đúng với mọi số thực x .
b/ Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho : y ≤ k đúng với mọi số thực x .
Bài 2 : (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD . Với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng chứa hình vuông ABCD, xét điểm M1 đối xứng của M qua đường thẳng AB, điểm M2 đối xứng của M1 qua đường thẳng BD, điểm M3 đối xứng của M2 qua đường thẳng AC và điểm M’ đối xứng của M3 qua đường thẳng CD.
Tìm tập hợp các điểm M sao cho độ dài đoạn MM’ bằng độ dài cạnh hình vuông .
Bài 3 : (4 điểm)
Cho dãy số thực (un) xác định bởi :
,
với n ≥ 1.
Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn . Tìm giá trị giới hạn này .
Bài 4 : (4 điểm)
Cho hình hộp IJKL.I’J’K’L’ có tất cả các cạnh bằng nhau và

=
=
=
.
Chọn tùy ý điểm P trên đoạn IJ và gọi Q là điểm trên đoạn IL sao cho LQ = IP.
a/ Chứng minh rằng :
+
+
=
.
b/ Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm O của hình hộp IJKL.I’J’K’L’ đến mặt phẳng (I’PQ) không phụ thuộc vào việc chọn điểm P.
Bài 5 : (4 điểm)
Xét hàm số f xác định trên tập số thực
thỏa mãn phương trình :

(*)
với mọi số thực x, y .
a/ Chứng minh tồn tại ít nhất ba hàm số
liên tục trên tập số thực
thỏa mãn (*).
b/ Tìm tất cả các hàm số
liên tục trên tập số thực
thỏa mãn (*).

Hết







SỎ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 CHUYÊN - NĂM HỌC 2009-2010
Môn : TOÁN
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
Bài
 NỘI DUNG
Điểm

Bài 1
Câu 1a (2 đ)



Đặt t = cosx, ta có : y=36t +9(2t2-1)+4(4t3-3t) =16t3+18t2+24t-9 .
0,5


Xét φ(t) = 16t3+18t2+24t-9 với -1≤ t ≤ 1 . φ’(t) = 48t2+36t+24 >0
.
φ(-1) = -31, φ(1) = 49 .Ta có : -31≤ φ(t) ≤ 49
.
1


Từ đó : y +31 ≥ 0 đúng với mọi số thực x. Dấu bằng xảy ra trong trường hợp cosx = -1
0.5


Chú ý: 1/ Do tính tuần hoàn và chẵn của y nên chỉ cần tìm Miny trên đoạn [0;π]
2/ y +31 ≥ 0
2(cosx+1)(8cos2x+cosx+11) ≥ 0


Câu 1b (2 đ)
Giả sử k là số thỏa : y ≤ k đúng với mọi số thực x .
Khi đó với x = 0 thì 49 ≤ k .
0.5


Ta chứng minh y ≤ 49 đúng với mọi số thực x .
Do Maxy = 49 nên y ≤ 49 đúng với mọi số thực x .
1


Số k nhỏ nhất thỏa bài toán là 49 .
0,5


Bài 2 (4đ)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông ABCD, trục Ox vuông góc với AB.
Có thể đặt : A(-a;-a), B(-a;a), C(a;a), D(a;-a).
Phương trình của AC: y = x, phương trình của BD: y = -x
1


Xét M(x;y). Tọa độ của M1 : x1 = -x-2a , y1 = y .
Tọa độ của M2 : x2 = -y1 = -y, y2 = -x1 = x+2a
Tọa độ của M3 : x3 = y2 = x +2a , y3 = x2 = -y .
Tọa độ của M’ : x’ = 2a –x3 = -x, y’ = y3 = -y .
1,5


MM’ = AB
( x’-x)2 +(y’-y)2= (2a)2