Đề HSG Toán 12_Bảng B (08-09)-QNinh (có Đ.án)

Sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh
-----------------------
Đề chính thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 12 THPT năm học 2008-2009

Môn : Toán
(Bảng B)
Ngày thi : 24/11/2008
Thời gian làm bài : 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

(Đề thi này có 01 trang)
Họ và tên, chữ ký của giám thị số 1:


……………………
……………………



Bài 1:
Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:


Bài 2: Cho hàm số :

Hãy xác định các hệ số A; B; C sao cho

và tính đạo hàm cấp hai

CMR:
với mọi

(Trong đó
là đạo hàm cấp thứ n của hàm số
)
Bài 3: Trong không gian cho tam giác vuông ABC cố định (B = 1v);
.
Điểm S di động trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (ABC);
.
Các điểm M; N lần lượt thuộc cạnh AB và AC sao cho
;
P là hình chiếu vuông góc của M trên SC.
Chứng minh rằng tam giác AMN là một tam giác vuông.
Chứng minh rằng: Khi S di động trên d,
) thì 2 mặt phẳng (MNP) và (SBC) luôn vuông góc với nhau và tích SC.CP không đổi
Với vị trí của S thỏa mãn
, gọi Q là giao điểm của SB với (NMP).
Tính thể tích của khối SAMNPQ theo a.
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số thực x thỏa mãn
ta có:



----------------------------Hết------------------------



Họ và tên thí sinh……………………………….Số báo danh…………………..

Sở giáo dục và đào tạo quảng ninh
lời giải chi tiết đề chính thức bảng b
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2008-2009
(Lời giải này gồm 04 trang)

Bài 1:


Ta có : Số nghiệm của hệ là số nghiệm của phương trình (*)
Phương trình (*) là phương trình bậc 3 nên có không quá 3 nghiệm phân biệt
Vậy hệ có 3 nghiệm
(*) có 3 nghiệm phân biệt
Hàm số f(x) có 2 cực trị trái dấu.


Với mọi giá trị m khác 0 thì hàm số f(x) có cực đại và cực tiểu đạt tại

Ta có:

Vậy với mọi giá trị m thỏa mãn
hoặc
thì hệ đã cho có 3 nghiệm phân biệt
( Thí sinh có thể đưa ra bảng biến thiên và kết luận về điều kiện để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt, tuy nhiên phải tính các giới hạn:
)
Bài 2: 1 ) Ta có:


Cho

Cho

Cho

( Học sinh có thể giải hệ 3 ẩn A;B;C từ :
)
Vậy :

Ta có:
;

Với mọi số nguyên dương n , ta sẽ chứng minh:
(1)
Thật vậy !
Với n = 1 ; n = 2 theo trên đã tính đạo hàm bậc nhất và bậc 2, công thức (1) đã đúng.
- Giả sử:

- Đạo hàm 2 vế có:





Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương.
Theo (1) ta có:



Với mọi
thì:



Bài 3:


1.
Do



Vậy có:

Mà hai tam giác ANM và ABC có chung góc A,nên tam giác ANM đồng dạng (theo thứ tự đó) với tam giác vuông ABC.
Vậy
. Hay tam giác AMN vuông tại N.
2.