Đề HSG Toán 12_Bảng A(08-09)-QNinh (có Đ.án)

sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh
--------(---------
kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 12 thpt năm học 2008-2009



Đề thi chính thức


môn : Toán
( bảng A )
Họ và tên, chữ ký của giám thị số 1









Ngày thi : 24/11/2008

………………...



Thời gian làm bài : 180 phút
(không kể thời gian giao đề)



………………...

 (Đề thi này có 01 trang)


Bài 1 (4 điểm):
Giải phương trình : =

Bài 2 (4 điểm):
Cho các số thực a, b thoả mãn ab ( 0. Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biệt: x3 - 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) = 0

Bài 3 (3 điểm):
Cho tam giác ABC có = = và BC = a. Hãy tính giá trị của biểu thức theo a.

Bài 4 (5 điểm):
Cho hình lập phương ABCD.A`B`C`D` với độ dài cạnh bằng a.
1. Tính thể tích khối tứ diện BDC`A` theo a.
2. Điểm M chạy trên cạnh AA` và điểm N chạy trên cạnh BC sao cho AM = BN = m (0 < m < a). Chứng minh rằng khi m thay đổi với 0 < m < a, đường thẳng MN luôn cắt và vuông góc với một đường thẳng cố định.

Bài 5 (4 điểm):
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = xyz

------------------------- Hết --------------------------

Họ và tên thí sinh: .............................................................. Số báo danh: ..........................
sở giáo dục và đào tạo quảng ninh

hướng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2008-2009
môn toán, bảng A.

Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm

Bài 1
4 điểm
TXĐ: 0 ≤ x ≤ 4. Có: (1) <=> = 12
Xét f(x) = và g(x) = với 0 ≤ x ≤ 4.
Dễ chứng minh được: f(x) > 0 và f(x) đồng biến trên (0; 4(
g`(x) = 2> 0 trên (0; 4( => g(x) > 0 và g(x) đồng biến trên trên (0; 4(
=> y = f(x).g(x) đồng biến trên (0; 4( và y(0) ≤ y(x) ≤ y(4) = 12
Do đó (1) <=> x = 4. Vậy ph/trình đã cho có duy nhất nghiệm x=4

0,5 đ


1,0 đ


1,5 đ
0,5 đ
0,5 đ


Bài 2
4 điểm
Xét hàm số f(x) = x3 - 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) với x ( R
Có f`(x) = 3x2 - 3(a2 + b2) ; Do ab ( 0 nên f`(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt là x = x1 và x = x2 f(x) có CĐ và CT
Chia f(x) cho f`(x), được f(x) = (1/3)x.f`(x) - 2(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)
Khi đó fCĐ.fCT=f(x1).f(x2)=(-2(a2+b2)x1+2(a3+b3)).( -2(a2+b2)x2+ 2(a3+b3))
= … = - 4a2b2 (a2 + b2 + (a-b)2 ( => fCĐ.fCT < 0
Suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm thực, phân biệt.



1,0 đ
1,0 đ

1,5 đ
0,5 đ

Bài 3