Đề HSG Huế 09-10

SỎ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 THPT - NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút
Bài 1: (4 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

trên đoạn
.
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:


Bài 2: (4 điểm)
Cho tam giác ABC và đường thẳng (d). Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho
là trung điểm cạnh AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành
. Với mỗi điểm P trên đường thẳng (d), ta dựng điểm Q sao cho:
. Tìm tập hợp điểm Q khi P thay đổi.
Cho hai đường tròn đồng tâm O, khác bán kính và đường tròn (O`). Dựng tam giác đều có một đỉnh ở trên (O`) và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên hai đường tròn đồng tâm O.
Bài 3: (4 điểm)
Giải hệ phương trình

Tìm tập xác định của hàm số

Bài 4: (4 điểm)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau ?
Tính tổng:

Bài 5: (4 điểm)
Khi cắt mặt cầu (O, R) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu (O, R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Cho
, hãy tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu (O, R) để khối trụ đó có thể tích lớn nhất.
Hết
 Sở Giáo dục - Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2009-2010
Môn : TOÁN
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

Bài 1
 NỘI DUNG
ĐIỂM

(4đ)




a)
(2,0)
Trên đoạn
:



.
Trên đoạn
:


.

(vì hàm số sin đồng biến trên khoảng
).
Suy ra:
.
Do đó,
đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm
, nên hàm số
có một cực trị duy nhất, cũng là giá trị lớn nhất của hàm số tại
.







0,5




0,5








0,5






0,5

b) (2,0)
 b) Trong tam giác ABC:


Ta có:
, nên luôn luôn có:
.
Suy ra:
.
Theo câu a) ta có:
đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:


Hay tam giác ABC cân tại C và


0,5



0,5


0,5





0,5




Bài 2



(4đ)





a)
(2,0)


Ta có:




mà





Suy ra:

Do đó:

Ta có:

Suy ra, Q là ảnh của P qua phép đối xứng tâm I.
Vậy tập hợp Q khi P chạy khắp (d) là đường thẳng (d`) đối xứng của (d) qua I.
Nếu (d) đi qua I thì (d`) trùng với (d); nếu (d) không đi qua I thì (d`)//(d) và (d`) đi qua điểm
đối xứng với một điểm
chọn trước trên (d).






0,5




0,5


0,5

0,5

b)
(2,0)
Gọi (C1) và (C2) là hai đường tròn đồng tâm O.
Lấy một điểm A trên (O`). Giả sử dựng được tam giác đều ABC sao cho B ở trên (C1) và C ở trên (C2).
Khi đó, C là ảnh của B qua phép quay Q(A, 600) (hoặc