Đề ĐA Toán chuyên Tin học Lam Sơn 2014 - 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2014 – 2015


Môn TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin học)

ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 01 trang
Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2014


Câu 1: ( 2.0 điểm)
Cho biểu thức:
( Với x > 0)
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tính giá trị của biểu thức P khi
.
Câu 2: (2.0 điểm)
1. Cho phương trình: 2013x2 – (m – 2014)x – 2015, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

2.Giải phương trình:

Câu 3: (2.0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 –x2y – xy2 = 5
Câu 4: (3.0 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là điểm thuộc cung AB (M
A, M
B) và I là điểm thuộc đoạn OA( I
O, I
A). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM, đường thẳng này cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi E là giao điểm của AM với IC, F là giao điểm của BM với ID. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác MEIF là tứ giác nội tiếp
2. EF//AB
3. OM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM và DFM.
Câu 5: (1.0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
+
+
= 2014
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =
+
+


Hết đề



Họ và tên thí sinh:………………………………………………………………………….Số báo danh: …………………
Chữ ký của giám thị 1: …………………………………… Chữ ký của giám thị 2: ………………………………


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHUYÊN TIN
Câu
Nội dung
Điểm

1.1


0.25




0.25




0.25






0.25

1.2

= (
+1)2. (Thoả mãn ĐKXĐ)
=>
=
+1
0.5


=> P
=

= 1 +

0.5

2.1
Cho phương trình: 2013x2 – (m – 2014)x – 2015, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn




Ta có:
= (m - 2014)2 + 4 . 2013 . 2015 > 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
0.25


Theo hệ thức Vi – et ta có:

Từ

=>

0.25


=>

=>

=> (x1 + x2)(
) = 0 => x1 + x2 = 0
0.25


=>
=> m = 2014.
Vậy m = 2014 là giá trị thoả mãn đề bài.
0.25

2.2
Giải phương trình:
(*)



ĐK: x
-1 và x

.Đặt 2x + 1 = t, PT (*) <=>

<=>

0.25


Đặt y =
, ta có pt: y2 + 2y – 3 = 0. Giải pt ta được y1 = 1, y2 = -3
0.25


Với y1 = 1 =>
= 1 => t(t+1) = 1=> t2 + t – 1 = 0
=>
=>
(Thoả mãn)
0.25


Với y2 = -3 =>
= -3 => t(t+1) =
=> t2 + t +
= 0 (Vô nghiệm vì
<0)
Vậy pt có hai nghiệm

0.25

3
x3 + y3 –x2y – xy2 = 5<=> (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) = 5
<=> (x + y)( x2 – 2xy + y2 ) = 5
<=> (x + y)( x - y)2 = 5
Do (x – y)2
0 và x, y thuộc Z nên xảy ra hai trường hợp:
0.5


TH1:
=>
; hoặc

0.25


TH2:
=>
(loại)
Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên (x;y)
{(3;2); (2;3) }
0.25

4