Đề+ĐA môn Toán thi Olympic TB-23

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TB
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TB
ĐỀ THI OLYMPIC LẦN THỨ 23
MÔN TOÁN
Thời gian: 180 phút


Câu I (4 điểm)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện


Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


Câu II (4 điểm)
Cho dãy số
với n nguyên dương xác định bởi


Với mỗi n nguyên dương, tìm số dư của phép chia
cho 10.

Câu III(4 điểm)
Gọi B là điểm thuộc đường tròn (C1) và A là điểm khác B nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (C1) tại B. Gọi C là điểm không thuộc đường tròn (C1) sao cho đoạn AC cắt đường tròn (C1) tại hai điểm phân biệt. Đường tròn (C2) tiếp xúc với đường thẳng AC tại C và tiếp xúc với đường tròn (C1) tại điểm D nằm khác phía với B đối với AC.
Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu IV (4 điểm)
Cho a, b, c, d, e, f là các số nguyên dương.
Đặt

Biết rằng S chia hết Q và S chia hết R.
Hỏi rằng S là hợp số hay số nguyên tố?

Câu V (4 điểm)
Một tập hợp X các số nguyên dương được gọi là có tính chất T nếu tập X có thể chia thành hai tập con A, B khác rỗng, rời nhau sao cho tổng của tất cả các phần tử của tập A bằng tổng của tất cả các phần tử của tập B. Tìm tất cả các số nguyên dương n để tập hợp
có tính chất T.

* * * * * Hết * * * * *

ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN.

Câu
Nội Dung
Điểm

Câu I





































Câu II










Câu III
























Câu IV







Câu V
Từ giả thiết ta có:


Đặt
ta được a, b, c là các số dương thỏa mãn


Ta có


Theo bất đẳng thức AM / GM ta có







Tương tự ta có


Ta có:



Vậy

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

Vậy maxA = 40896 khi


Trước hết ta tính toán một số số hạng đầu của dãy là:


Ta thấy
, theo tính chất của dãy Fibonacci ta có


Từ đó ta có


Mà

Vậy ta có

Vậy số dư là 0.




Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BD và CD, K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và TDT’ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại D.
Khi đó ta có EK là đường trung trực của BD và EK cũng là phân giác góc giứa tiếp tuyến AB và TD.
Tương tự ta có FK là đường trung trực của CD và FK cũng là phân giác góc giữa tiếp tuyến AC và T’D.
Khi đó ta có khoảng cách từ K tới AB bằng khoảng cách từ K tới T’DT và bằng khoảng cách từ K tới AC. Vậy K thuộc phân giác góc BAC. Mặt khác K thuộc trung trực cuar BC.
Vậy K là giao điểm của đường phân giác trong góc BAC với trung trực của BC, suy ra K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xét đa thức


Vì S chia hết Q và S chia hết R nên ta có



Vì

Do đó ta có S phải là hợp số

Điều kiện cần

Nếu tập hợp X có tính chất T thì tổng tất cả các phần tử của X là một số chẵn. Mà tổng tất cả các phần tử của X là


Vậy để S là số chẵn thì

Điều kiện đủ
TH1: n = 4k + 3, khi đó số phần tử của tập X là 4(k + 1).
Khi đó có thể chia tập X thành k + 1 tập rời nhau sao cho mỗi tập có 4 số tự nhiên liên tiếp. Ta thấy tập hợp gồm 4 số tự nhiên liên tiếp có tính chất T từ đó suy ra X có tính chất T.
TH2: n = 4k, khi đó số phần tử của tập X là 4k