Đề+ĐA chọn HSG môn Toán - Bn-10-11.doc

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011
Mụn thi: Toỏn
Thời gian làm bài: 180 phỳt (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 08 tháng 10 năm 2010
==========







Câu 1. (4 điểm)
Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau thoả mãn với mọi cặp số thực x, y không âm:

.
Câu 2. (3 điểm)
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau:

.

Câu 3. (5 điểm)
Cho hàm số
thoả mãn
.
Hãy tính:
.

Câu 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Đường phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại D. Biết rằng BC = BD + AD, hãy tính góc A.

Câu 5. (4 điểm)
Cho ba loại bi xanh, đỏ, vàng. Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng 7 viên bi (có thể không đủ ba loại) sao cho không có hai viên bi xanh và đỏ cạnh nhau?







=========== Hết ===========
Họ và tờn thớ sinh : ………………………………….Số bỏo danh :…………
(Đề thi này có 01 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011
Mụn thi: Toỏn
Ngày thi: 08 tháng 10 năm 2010
==========
Câu 1.
+) Giả sử bđt dã cho đúng với mọi cặp số thực x, y không âm.
Cho x = 1, y = 0 suy ra
(1 điểm)
+) Ta chứng minh: khi k = k0, bđt dã cho đúng với mọi cặp số thực x, y không âm.
_ Dễ thấy bđt đúng khi x không âm và y = 0.
- Xét trường hợp x
y > 0.Đặt
, bđt trở thành:



Xét hàm số f(t) =
, với
.
Ta có f,(t) =

Từ
suy ra f,(t) < 0.
Do đó f(t) là hàm nghịch biến trên [1; +
)

, tức là (*) đúng với
.
Vậy giá trị cần tìm là:
(3 điểm)
Câu 2.
+) Gọi (x0; y0; z0) là 1 nghiệm của pt.
Với số tự nhiên n, đặt xn = 2xn+1, yn = 2yn+1, zn = 2zn+1
Vì
suy ra (x0 2 + 3z02) chẵn.
Do đó x0 và z0 cùng chẵn hoặc cùng lẻ, dẫn đến (x02 + 3.z02) chia hết cho 4, rồi 2y02 chia hết cho 4, suy ra 2y02 chia hết cho 8, suy ra (x02 + 3.z02) chia hết cho 8, do đó x0, z0 cùng chẵn.
Như vậy x0, y0, z0 phải cùng chẵn.
Từ đó

Bằng cách suy luận như trên, dẫn đến xn, yn, zn cùng chẵn

Suy ra:
+) Dễ thấy
thoả mãn pt đã cho.
Vậy đó là nghiệm cần tìm
( 3 điểm)

Câu 3.
+) Từ giả thiết suy ra f(x) không âm với mọi x thực
+) Xét x0 thực bất kỳ.
Với mỗi n tự nhiên, đặt un = f(x0 + n). Khi đó

- Nếu u0 > 3 thì, bằng quy nạp:
. từ (1) suy ra un > 3
. từ (2) suy ra 3 < un+1 < un với mọi n tự nhiên
Do đó tồn tại lim(un) = L và

- Nếu 0 < u0 < 3 3 thì, bằng quy nạp:
. từ (1) suy ra un < 3
. từ (2) suy ra 3 > un+1 > un với mọi n tự nhiên
Do đó tồn tại lim(un) = L và
.
Tóm lại, luôn có lim(un) = 3.
Vậy
= 3.
( 5 điểm)
Câu 4.
Cách 1.
Lấy A, đối xứng với A qua BD thì A, thuộc BC.
Trên BC đặt BE = BD thì EC = AD (1)
Kẻ DF song song với BC, F thuộc AB.
Ta có tam giác BFD cân tại F;
FD = FB = DC (2)
Lại có:
.
Từ (1), (2), (3) suy ra

Hai tam giác DA,E, BDE cùng cân và có chung góc BED nên
.
Vì

Suy ra:

( 4 điểm)
Cách 2.
Ap dụng định lý sin cho các tam