Dãy số lượng giác, tuyển chọn từ các đề thi và Tạp chí THTT

Thpt_LongThành








Tác giả : NGUYÊN NGỌC MINH TRAI





PHẦN . MỞ ĐẦU:
Dãy số là một dạng toán rất hay và khó trong chương trình toán phổ thông, đặc biệt là trong kì thi HSG chúng ta thường gặp rất nhiều dạng toán về dãy số. ngoài những dạng dãy số sai phân tuyến tính mẫu mực còn có rất nhiều dạng không mẫu mực mà cách giải thường là sử dụng phương pháp lượng giác. Hôm nay, tôi xin mạo mụi viết một tập tài liệu nhỏ về cách sử dụng lượng giác để giải các bài toán dạng này. Đây là tập tài liệu đầu tay của tôi nên sai sót là điều không thể tránh khỏi, hi vọng nhận được các ý kiến từ các bạn…. qua email [email protected]
hoặc [email protected]. Trong tập tài liệu này, tác giả có sử dụng một số tài liệu về dãy số trong ebook của thầy Nguyễn Tất Thu_THPT Lê Hồng Phong_Đồng Nai__xin chân thành cảm ơn thầy.

Long Thành. ngày 3-9, năm 2009
Lớp 11A2 , Nguyễn Ngọc Minh Trai





























II. Phương pháp
1)_CẦN NẮM VỮNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Cos2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
Sin2a = 2sinacosa
Cos3a = 4cos3a – 3cosa
Sin3a = - 4sin3a + 3sina
Tan(a+b) =
Tan3a =
2)_ Đọc kĩ giả thiết của đề bài … => phân tích đặc điểm của dãy số => chọn hàm số lượng giác phủ hợp => giải bài toán…
(Chú ý khi dụng hàm sin và cos cần phải có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1)









PHẦN 3. BÀI TẬP
Bài 1: (Olympic 30/4/2003)
Cho dãy {un} định bởi:

Tính

Nhận xét : với giả thiết của bài ta liên tưởng ngay đến CT:
Đồng thời ta còn có u1
Lời giải
Ta có:

Ta đã biết:





Từ (*) ta có:

Theo nguyên lý quy nạp, từ (1) và
.suy ra
Suy ra:

Vậy:


Bài 2: (đề thi đề nghị Olympic 30.4)
Cho dãy số xác định bởi:
a0=1, a1000=0

an+1=2a1an - an-1
tính : a1999 + a1
hướng dẫn giải:
+ nếu thay n=2 thì ta được a2 = 2a12 – 1. vậy nên nếu muốn sử dụng lượng giác(ở đây là hàm cos, vì cos2a = 2cos2a – 1) ta cần phải chứng minh được |a1|≤1 thì mới có thể dặt a1=cosa.
+ quả vậy, nếu |a1| ≥ 1, thì |a2| = |2a12 – 1| ≥ 1, suy ra |a3| = |2a22 – 1| ≥ 1…….|a1000| ≥ 1(trái với giả thiết). vậy nên |a1|≤1 , đặt a1=cosa.
Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng:
an+1= cos(n+1)a
ta có: a1000 = cos1000a = 0, => 1000a =
a1999=cos1999a=cos-cosa = -a1
a1999 + a1 = 0

Bài 3: Cho dãy {un} và {vn} như sau: (tạp chí THTT)

và

Chứng minh rằng:

Giải:
Ta có:

Vậy:

Tương tự:



Bằng cách xét:
,

Ta suy ra:

Khi đó:


đpcm



Bài 4:
Cho a0 = 2, b0 = 1. Lập hai dãy số{an},{bn}với n = 0, 1, 2, ... theo quy tắc sau:
;

Chứng minh rằng các dãy {an},{bn} có cùng một giới hạn khi
. Tìm giới hạn đó.
Giải:
Ta chú ý:
,





Từ đó, bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:




Lưu ý rằng:

Ta có:
;
(2)
Từ (1), (2) tồn tại
và

Ngòai ra:




Vậy hai dãy {an},{bn}có cùng giới hạn chung là


Bài 5: (Kỳ thi quốc gia lần XXVIII-1990)
Cho dãy số{xn},
,
được xác định bởi hệ thức:


a.Có cần thêm diều kiện gì đối với x1 để dãy tòan số dương.
b.Dãy số