Dạy học bđt Côsi

CHUYÊN Đề giảng dạy bất đẳng thức CÔSi
(BĐT giữa TB cộng và TB nhân)
Lý do
chương trình toán THPT, BĐT Côsi chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng. Nó không chỉ có mặt trong chủ đề BĐT mà còn có mặt trong hầu hết các chủ đề khác của toán sơ cấp. Đây là chủ đề hấp dẫn nhất đối với HS say mê Toán vì đòi hỏi phải động não, tìm tòi, sáng tạo. BT về BĐT chứa nhiều tiềm năng có thể khai thác để rèn luyện khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự cho HS. Mặt khác BĐT nói chung và BĐT Côsi nói riêng còn là một nội dung quan trọng trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi ĐH và CĐ. Đây là phần gây cho Hs ngay cả HS khá giỏi nhiều bối rối nhất. Trong khi đó, số tiết về BĐT Côsi mà HS được học trên lớp tương đối ít, rồi từ đó HS chỉ được vận dụng BĐT Cô si xen kẽ vào các phần khác nên chưa có cách nhìn tổng thể về các kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi. Các tài liệu tham khảo chủ yếu viết theo lối đưa ra BT và lời giải. Điều này thiếu mất công đoạn quan trọng đó là suy nghĩ, tìm tòi dự đoán để đi đến lời giải. Từ các lí do trên, qua quá trình giảng dạy BĐT Côsi và các chuyên đề ôn thi ĐH khác, để HS có cách nhìn tổng thể về bài toán sử dụng BĐT Côsi từ đó nâng cao khả năng sử dụng BĐT Côsi của HS tôi đưa ra một số kinh nghiệm dạy BĐT Côsi cho HS.
Nội dung
BĐT Cô si
a, Dạng tổng quát của BĐT Côsi


Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi
2.1. Kỹ thuật 1: Kỹ thuật phân tích số mũ
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
1,

2,












Sau khi chứng minh dựa vào kỹ thuật phân tích số mũ thì các em cần suy nghĩ đến bài toán tổng quát hóa và tương tự
Để ý số mũ của các số hạng tham gia vào bài toán, ta đi đến nhận xét:
+ Số mũ của a, b, c, d trong vế phải là 1
+ Số mũ giữa tử số và mẫu số của mỗi số hạng trong vế trái hơn kém nhau 1 đơn vị, đúng bằng số mũ của a, b, c, d ở vế phải
Từ những nhận xét này, các em cần phát hiện ra các bài toán tổng quát như sau:
Cho a, b, c, d > 0, CMR

Đặc biệt hóa kết quả này ta thu được kết quả:

1.2.Kỹ thuật tách số hạng
Ví dụ 1:



b, Phép CM tương tự câu a.
Từ VD ta nghĩ đến dự đoán BT tổng quát:

Từ VD ta nghĩ đến dự đoán BT tương tự:

1.3. Kỹ thuật kiểm tra dấu bằng
Ví dụ 1:








Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c



1.4. Kỹ thuật nhân hằng số


Từ việc CM dựa vào kỹ thuật nhân hằng số Gv