DAP AN THI HSG TOAN 9 THCS

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

Đề chính thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn thi: TOÁN
LỚP 9 THCS
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang )


Câu
Ý
Nội dung
Điểm

I
1
Cho biểu thức


2,00



Rút gọn P: ĐK x ( 0, x ( 9
0,25





0,50



 =

0,50



=


0,75


2
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2,00





0,50



P

 0,50



Áp dụng bất đẳng thức CôSi ta có:

0,50



 Ta có P = 4 (
.
Vậy min P = 4 khi x = 4
0,50

II
1
Tìm m để phương trình

2,50





0,50



Đặt
ta có

0,75



Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( 3) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Điều này tương đương với :

0,50







0,50



Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi -5< m <4
0,25


2
Giải hệ phương trình :


2,50



Điều kiện y
0
Đặt z =
ta được hệ :


0,50



Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta đươc



(vì x2 + xz + z2 +3 = (x +
)
+
> 0 với mọi x, z)

0,75



Thay x = z vào phương trình (1) của hệ ta được : x3 – 3x – 2 = 0

(x+1)2(x - 2) = 0
x = -1 hoặc x = 2
0,50



Với

nghiệm (x ; y ) của hệ là

Với

nghiệm (x ; y ) của hệ là

Vậy nghiệm (x ; y ) của hệ là
 và


0,75

III
1
Tìm n nguyên dương sao cho
là bình phương của một số tự nhiên.
2,00



Giả sử tồn tại
sao cho
(1)
Xét trường hợp n chẵn:
Đặt
phương trình (1) trở thành
mà
do đó
hoặc



0,50



Với
(thỏa mãn).

0,50



Với
(thỏa mãn).
0,50



Xét trường hợp n lẻ:

Ta có
mà bình phương của một số tự nhiên thì đồng dư với
suy ra trong trường hợp này không tồn tại n lẻ thỏa mãn bài toán.
Vậy giá trị cần tìm của n là



0,50


2
Cho m, n là các số tự nhiên dương thỏa mãn
Chứng minh rằng


2,00



Ta có

0,50



Nếu
thì

Mà
điều này mâu thuẫn với (*).
Vậy


0,50



Ta lại có

0,50



Từ (**) và (***) ta được
(đpcm)
0,50

IV
1
Chứng minh ba điểm N, H, M thẳng hàng.
2,50



Theo giả thiết ta có
nội tiếp đường tròn, suy ra AH là đường kính của đường tròn


0,50



Gọi P là điểm đối xứng với H qua M, suy ra BHCP là hình bình hành, suy ra

nội tiếp đường tròn


0,50



Từ


0,50




là đường kính của đường tròn
suy ra

0,50



Từ (1) và (2) suy ra N, H, P thẳng hàng mà H, M, P thẳng hàng suy ra M, N, H thẳng hàng.














0,50


2
Chứng minh

1,50




là ba đường cao của tam giác ABC, suy ra các tứ giác BDHF, CDHE và BFEC nội tiếp, suy ra
suy ra DH là phân giác



0,50



Ta