Đáp án đề thi đại học khối A 2008 môn tán

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - 2008
Môn toán - Khối A
Câu 1.
1. Khi m = 1 hàm số trở thành:


TXĐ:
{-3}
Giới hạn, tiệm cận:


Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -3


Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y = x – 2
Chiều biến thiên:
y’ =

y’ = 0



Hàm số đồng biến trong các khoảng

Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-5; -3); (-3 ; -1)
Bảng biến thiên:





Đồ thi:
y = 0



Đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm ( 1 ; 0), (-2 ; 0)
x = 0


Đồ thị cắt Oy tại điểm

Đồ thị nhận điểm I ( -3 ; -5) làm tâm đối xứng.





2.



Nếu 6m -2 = 0
m =
thì
. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Nếu


đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -3m (d1)



Đồ thị hàm số có tiện cận xiên y = mx – 2 (d2)
Vì d1 // Oy nên góc giữa hai tiệm cận của đồ thị bằng 450.

(d2) tạo với Oy một góc bằng
450.


(d2) tạo với Ox một góc bằng
450.



Câu II.
Giải phương trình:

Ta có:
x


Khi đó: (1)

Điều kiện xác định: sinx.cosx
0

, k


Khi đó: (2)


(3)
Trường hợp 1:
(m
) (thoả mãn điều kiện)
Trường hợp 2:

Khi đó:




(l, p
) (t/m ĐKXĐ)

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm là:



Hệ đã cho

Đặt
Hệ trở thành

Lấy (2) trừ đi (1) ta được: u2 – u – uv = 0

u ( u – v – 1) = 0


Với u = 0 thay vào (2) ta được

Ta có:




Với v=u-1 thay vào (2) ta được


khi đó

Và (I)





Vậy hệ (I) có 2 nghiệm
;



Câu III:

(1) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
. Mặt phẳng (P) qua điểm A nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng d,
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:


Tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng d là nghiệm của hệ


Giải hệ này ta nhận được
. Hình chiếu của A lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P) nên tọa độ hình chiếu của A là A’(3;1;4).
(2) Gọi H là hình chiếu của A lên
. Vì AH vuông góc với HA’ nên
. Do đó mặt phẳng
thỏa mãn khoảng cách từ A đến
là lớn nhất khi và chỉ khi
vuông góc với đường thẳng AA’.
Ta có
, mặt phẳng
đi qua điểm A’ nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là


Vậy


Câu IV
1) Tính tích phân:

Đặt t = tan x, suy ra:

= (1 + tan2x)dx

Với x = 0
t = 0
x =

t =

Khi đó: I =

=

=

2) Xét hàm số
trên đoạn
. Ta có


Ta có f’(x) là hàm giảm vì từng số hạng của tổng của biểu thức bên phải ở trên là giảm. Mặt khác
nên phương trình
có duy nhất một nghiệm
trên khoảng
và qua nghiệm này
đổi dấu. Do đó f(x) là hàm tăng trên
và giảm trên
. Do đó phương trình f(x)=m có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
. Ta có


Ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau


Bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức luôn đúng sau


Với dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Ta có




Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
Suy ra giá trị lớn nhất của f(x) trên
là
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi




Câu Va.
1) Gọi phương trình chính tắc của Elíp là
với a>b>0. Tâm sai của Elip là
. Từ giả thiết ta có hệ


Bình phương phương trình thứ nhất của hệ, thế
ta nhận được


Giải hệ ta được
Vậy phương trình của Elíp là

2) Đặt f(x) = ( 1 + 2x)n = a0 + a1x + …..+ anxn
Ta có:


n = 12




Thay n = 12 ta được 3k + 1
24




Câu Vb.
1)


(1)


Điều kiện:


Với điều kiện đó phương trình tương đương với:

(2)
Đặt t =
thì hệ (2) trở thành:
t + 1 +

Với t = 1 thì
= 1
x = 2 (thoả mãn điều kiện)
Với t =2 thì
= 2
4x2 – 5x = 0


Chỉ có x =
thoã mãn
Vậy (1) có 2 nghiệm là: x = 2 ; x =



2)
(a) Gọi H là trung điểm của BC (xem h.1), theo giả thiết A’H vuông góc với (ABC). Tam giác ABC vuông ở A nên
(xem h.2). Ta có
. Tam giác A’AH vuông ở H nên


Thể tích của khối chóp A’.ABC là



(b) Ta thấy
nên
suy ra tam giác
vuông tại A’. Theo định lý Pythagore
Tam giác BB’H có
nên là tam giác cân ở B’. Do đó
, ở đó K là trung điểm của BH (xem h.3).
Góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ bằng góc giữa hai đường thẳng BB’ và BC (vì AA’ //BB’; B’C’//BC) do đó bằng
(chú ý
<900) . Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ bằng