Đạo hàm trong các bài toán khai triển Niuton

Chuyên đề
Sử dụng đạo hàm
tính tổng của khai triển nhị thức newtơn

1. Nhận dạng:
* Khi trong tổng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp 1. (đạo hàm 1 lần)
* Khi trong tổng có một thành phần hệ số là tích của hai số nguyên dương liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp 2; hoặc mất và hoặc và
2. Các bước giải
* Bước 1: Chon khai triển (b + x)n khi mỗi số hạng trong tổng có dạng kak-1bn-k
* Bước 2: Chọn đạo hàm cấp 1, cấp 2.
* Bước 3: Chọn x = a ( kết quả.
3. Bài tập.
Bài 1. Tính tổng: S = 1.20+ 2.21+ 3.22+ … + n.2n - 1
HD: (1 + x)n = C+ xC+ x2C+ x3C+ … + xnC
( n(1 + x)n – 1 = C+ 2x1C+ 3x2C+ … + nxn - 1C
Thay x = 2 ta được S = n.3n – 1

Bài 2. Tính tổng: S = n.30+ (n - 1)31+ (n - 2).32+ … + 1.3n - 1
HD Khai triển (1 + x)n, lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 3 ta được S = n4n – 1

Bài 3. Chứng minh rằng: 1+ 2+ 3+ … + n= n2n – 1
HD: Khai triển (1 + x)n, lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 1
Bài 4. Chứng minh rằng:
HD: Khai triển (1 + x)n, lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x =

Bài 5. Tìm n ( Z+ thoả mãn:
1.20- 2.21+ 3.22- … + (2n + 1).22n= 2005
(Đề ĐH + CĐ - A - 2005)
HD: Khai triển (-1 + x)2n + 1, lấy đạo hàm bậc nhất hai vế, thay x = 2 ta được 2005 = 2n + 1

Bài 6. Tìm số nguyên dương n thoả mãn:
2006 + 1.20- 2.21+ 3.22… + 2n.22n - 1= 0
HD: Sử dụng khai triển (1 + x)2n

Bài 7. Tính tổng: S = 1.2+ 2.33.4… + (n-1)n
HD: Khai triển (1 + x)n, lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 1, ta được S = n(n-1)2n - 2

Bài 8. S = 2.1.30- 3.2.31+ 4.3.32- … + 200.199.3198
HD: Khai triển (1 - x)200, lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 3, ta được S = 200.199.2198

Bài 9. Tính tổng S = 12C+ 22C+ 32C+ 42C+ … + n2C
HD: Ta có: S = 1(1+0)C+ 2(1+1)C+ 3(2+1)C+ 4(3+1)C+ … + n(n-1+1)C=
= [2.1C+ 3.2C+ 4.3C+ … + n(n-1)C+ [1C2C+ 3C+ 4C+ … + nC

Bài 10. Tính tổng S = 2C+ 3C+ 4C+ … + 101C
HD: Khai triển x(1 + x)100, tính đạo hàm và thay x = 1.

Bài 11. Tính tổng: S = 31.2.C+ 32.3.C+ 33.4.C+ … + 3n(n + 1)C
HD: Khai triển x(1 + x)n , tính đạo hàm 2 vế và thay x = 3

Bài 12. Tính tổng