Dai so hoa luong giac

ĐẠI SỐ HÓA LƯỢNG GIÁC
Mai Quốc Tuấn, Đỗ Hoàng Duy, Phạm Phương Tùng, Nguyễn Thanh Nhã
lớp 10T1, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long.
Email: [email protected].

Sau khi giải một bài toán, chúng ta thường bằng lòng với những gì minh đã làm được, liệu cách học như thế đã có hiệu quả chưa? Tại sao chúng ta không nhìn bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau? Tất cả vẻ đẹp của bài toán khi ấy sẽ được bộc lộ.
Bài viết này xin giới thiệu cùng các bạn cách nhìn bài toán lượng giác dưới góc nhìn đại số bằng phương pháp đại số hóa lượng giác. Vậy, đại số hóa lượng giác là gì??? Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về phương pháp thú vị này.

1. Những bổ đề liên quan.
Bổ đề 1.1.
;
;
với
.
Bổ đề 1.2. Với mọi tam giác
ta luôn có
.
Chứng minh. Ta có
.
Suy ra
.
Bổ đề 1.3. Với mọi số thực
, ta luôn có
.
Ta được các hệ quả nếu
thì
và
.
2. Một số bài toán minh họa.
2.1. Phương pháp đại số hóa trong giải phương trình lượng giác.
Bài toán 2.1.1. Giải phương trình
.
Lời giải. Nhận thấy
nên
không là nghiệm của phương trình
. Đặt
, suy ra
và
(theo bổ đề 1.1). Khi đó, phương trình đã cho tương đương với





.
Bài toán 2.1.2. [Đại học Huế Khối D 2000] Giải phương trình
.
Lời giải. Đặt
. Suy ra
. Khi đó phương trình đã cho tương đương với





.
Bài toán 2.1.3. [Vô địch New York 1973] Giải phương trình
.
Lời giải. Ta có

.
Đặt
, ta được



.
Bài toán 2.1.4. Giải phương trình
.
Lời giải. Đặt
và
, suy ra phương trình đã cho trở thành
.
Ta có
.
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được
.
Đẳng thức xảy ra
.
2.2. Phương pháp đại số hóa trong giải hệ phương trình lượng giác.
Bài toán 2.2.1. Cho hệ phương trình
.
Lời giài. Đặt
. Khi đó, hệ phương trình đã cho có dạng

.
Suy ra
là nghiệm của phương trình

.
Bài toán 2.2.2. Giải hệ phương trình
.
Lời giải. Hệ phương trình đã cho tương đương với
. Đặt
, ta được hệ phương trình mới
. Khi đó,
và
là nghiệm của phương trình


.
Bài toán 2.2.3. Giải hệ phương trình sau
.
Lời giải. Đặt
, hệ phương trình đã cho trở thành
.
Ta xét các trường hợp

Khi
, suy ra nghiệm của hệ phương trình là
. Từ đó, ta được

.

Khi
, ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vào vế phải của phương trình
, ta được


Ta cũng có

Từ
và
, ta suy ra được
.
Vậy, với mọi
hệ phương trình đã cho luôn có các nghiệm dạng

,

,

,
với
.
2.3. Phương pháp đại số hóa trong giải bất phương trình.
Bài toán 2.3.1. Giải bất phương trình
.
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với
. Đặt
, khi đó bất phương trình có dạng
.
Bài toán 2.3.2. Giải bất phương trình
.
Lời giải. Điều kiện
.
Đặt
, suy ra
và
. Khi đó phương trình có dạng



.
Bài toán 2.3.3. Giải phương trình
.
Lời giải. Đặt
, suy ra
. Khi đó, phương trình có dạng



.
2.4. Phương pháp đại số hóa trong chứng minh bất đẳng thức.
Bài toán 2.4.1. Cho tam giác
tùy ý không vuông. Chứng minh rằng

.
(Đây chính là bất đẳng thức Nesbitt trong lượng giác)
Lời giải. Đặt
.
Khi đó, suy ra
.
Áp dụng bất đẳng thức
cho sáu số dương, ta được
.
Do đó
.
Bài toán 2.4.2. Cho tam giác
bất kì. Chứng minh rằng
.
Lời giải. Đặt
, ta được
. Bất phương trình đã cho trở thành

.
Áp dụng bất đẳng thức
, ta dễ dàng chứng minh được
và
. Từ đó, suy ra

.
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng.
Bài toán 2.4.3. Cho tam giác
bất kì. Chứng minh rằng
.
Lời