Công thức lượng giác đầy đủ

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I.Các công thức cơ bản

𝑠𝑖𝑛
2
𝑥
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥=1
1
𝑡𝑎𝑛
2
𝑥
1
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥

1
𝑐𝑜𝑡
2
𝑥=
1
𝑠𝑖𝑛
2
𝑥


1
1
𝑐𝑜𝑡
2
𝑥
1
1
𝑡𝑎𝑛
2
𝑥=1

𝑠𝑖𝑛
2
𝑥
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
2


𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥
2


𝑡𝑎𝑛
2
𝑥
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥

II.Các góc có liên quan đặc biêt:
1.Hai góc đối nhau

𝑠𝑖𝑛−𝑥
𝑠𝑖𝑛
𝑥

𝑐𝑜𝑠⁡(−𝑥
𝑐𝑜𝑠
𝑥

𝑡𝑎𝑛⁡(−𝑥
𝑡𝑎𝑛
𝑥

𝑐𝑜𝑡⁡(−𝑥)=−𝑐𝑜𝑡⁡𝑥
2.Hai góc hơn kém nhau π:

𝑠𝑖𝑛
𝜋+𝑥=−𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠
𝜋+𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑡𝑎𝑛
𝜋+𝑥=𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑡
𝜋+𝑥=𝑐𝑜𝑡𝑥
3.Hai góc bù nhau:

𝑠𝑖𝑛
𝜋−𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠
𝜋−𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑡𝑎𝑛
𝜋−𝑥=−𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑡
𝜋−𝑥=−𝑐𝑜𝑡𝑥
4.Hai góc phụ nhau:

𝑠𝑖𝑛
𝜋
2−𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2−𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑡𝑎𝑛
𝜋
2−𝑥=𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑐𝑜𝑡
𝜋
2−𝑥)=𝑡𝑎𝑛𝑥
5.Hai góc hơn kém nhau π/2:

𝑠𝑖𝑛
𝜋
2+𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜
𝑠
𝜋
2+𝑥=−𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑡𝑎
𝑛
𝜋
2+𝑥=−𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑐𝑜
𝑡
𝜋
2+𝑥=−𝑡𝑎𝑛𝑥
III.Công thức cộng:

𝑐𝑜𝑠
𝛼−𝛽=𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑐𝑜𝑠
𝛼+𝛽=𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑡𝑎𝑛
𝛼−𝛽
𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽
1+𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽


𝑠𝑖𝑛
𝛼+𝛽=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑠𝑖𝑛
𝛼−𝛽=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑡𝑎𝑛
𝛼+𝛽
𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽
1−𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽

IV.Công thức nhân hai,nhân ba,hạ bậc:
1.Công thức nhân 2:
𝑠𝑖𝑛2𝑥=2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑠𝑖𝑛+𝑐𝑜𝑠𝑥
2−1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
𝑠𝑖𝑛
2
𝑥=1−2
𝑠𝑖𝑛
2
𝑥=2
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥−1
𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝑡𝑎𝑛2𝑥
2𝑡𝑎𝑛𝑥
1
𝑡𝑎𝑛
2
𝑥

𝑐𝑜𝑡2𝑥
𝑐𝑜𝑡
2
𝑥−1
2𝑐𝑜𝑡𝑥

2.Công thức nhân 3:
𝑠𝑖𝑛3𝑥=3𝑠𝑖𝑛𝑥−4
𝑠𝑖𝑛
3
𝑥
𝑡𝑎𝑛3𝑥
3𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑡𝑎𝑛
3
𝑥
1−3
𝑡𝑎𝑛
2
𝑥

𝑐𝑜𝑠3𝑥=4
𝑐𝑜𝑠
3
𝑥−3𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑡3𝑥
𝑐𝑜𝑡
3
𝑥−3𝑐𝑜𝑡𝑥
3𝑐𝑜𝑡
2
𝑥−1

3.Công thức hạ bậc:

𝑠𝑖𝑛
3
𝑥
1
4
3𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑠𝑖𝑛3𝑥


𝑐𝑜𝑠
3
𝑥
1
4
3𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠3𝑥


𝑡𝑎𝑛
3
𝑥
3𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑠𝑖𝑛3𝑥
3𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜3𝑥


𝑠𝑖𝑛
4
𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥−4𝑐𝑜𝑠2𝑥+3
8


𝑐𝑜𝑠
4
𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥+4𝑐𝑜𝑠2𝑥+3
8


𝑡𝑎𝑛
4
𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥−4𝑐𝑜𝑠2𝑥+3
𝑐𝑜𝑠4𝑥+4𝑐𝑜𝑠2𝑥+3


V.Công thức biến đổi theo
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝟐

Đặt 𝑡
𝑡𝑎𝑛𝑥
2,ta có:
𝑠𝑖𝑛𝑥
2𝑡
1
𝑡
2

𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑡
2
1
𝑡
2

𝑡𝑎𝑛𝑥
2𝑡
1
𝑡
2

𝑐𝑜𝑡𝑥
1
𝑡
2
2𝑡

VI.Công thức biến đổi tổng thành tích

𝑐𝑜𝑠
𝛼
𝑐𝑜𝑠
𝛽=2
𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽
2
𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝛽
2

𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛽=−2𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽
2
𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝛽
2

𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛽=2𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽
2
𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝛽
2

𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛽=2𝑐𝑜𝑠
𝛼+𝛽
2
𝑠𝑖𝑛
𝛼−𝛽
2
𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽
𝑠𝑖𝑛⁡(𝛼+𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽
𝑠𝑖𝑛
𝛼−𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑐𝑜𝑡𝛼+𝑐𝑜𝑡𝛽
𝑠𝑖𝑛⁡(𝛼+𝛽
𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑐𝑜𝑡𝛼−𝑐𝑜𝑡𝛽−𝑠𝑖𝑛⁡(𝛼−𝛽
𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽
VII.Công thức biến đổi tích thành tổng