Chuyên đề: vài phương pháp xác định một đa thức

Vài phương pháp xác định một đa thức

Ngô đức Minh – GV THCS Ngô Gia Tự

Những năm gần đây, trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp quận , huyện, thành phố hay có dạng bài toán xác định một đa thức . Khi gặp loại toán này các em thường nhanh chóng giải bằng phương pháp chia đa thức hay dùng hệ số bất định ... để đưa đến việc tìm các hệ số của đa thức vào việc giải hệ phương trình. Việc giải hệ phương trình này cũng khá khó khăn khi gặp hệ phương trình 3 , 4 ẩn nhất là đối học sinh lớp 8 .
Vấn đề đặt ra là : có cách nào xác định nhanh chóng các hệ số của một đa thức cần tìm hay không ? Bài viết này nhằm trang bị cơ sở cho các em một vài phương pháp xác định một đa thức với 3 nội dung chính , đó là :
- Định lý Bơ-zu và ứng dụng .
- Hệ số bất định .
- Phương pháp nội suy NEWTON .
Các bài tập minh hoạ cho vấn đề này là các bài toán thi học sinh giỏi quận, thành phố .
Phần 1 : Định lý Bơ - zu và ứng dụng

Định lý Bơ-zu :

Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x - a
bằng giá trị của đa thức tại điểm a tức là f(a) .

Chứng minh :
Gọi phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x - a là r(x) . Do bậc của đa thức dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia nên r(x) là một hằng số r và ta có :
f(x) = (x - a ) q(x) + r
Thay x = a ta được : f(a) = ( a - a ) q(a) + r
( f(a) = r ( đpcm ).

*/ Hệ quả :
Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) ( ( x -a ).

2 ) dụng :
Bài toán 1 :
Tìm a , b để đa thức 2x3+ax+b chia cho x+1 dư -6 và chia cho x-2 dư 21 .
(Đề thi học sinh giỏi vòng 1-Quận Hồng bàng- năm học 1998-1999).


Lời giải :
Đặt f(x) = 2x3+ax+b . Theo định lý Bơ-zu ta có :
f(x):(x+1) dư -6 <-> f(-1) =-6 <-> 2(-1)3 + a(-1)+b = -6 <-> -a+b = -4
f(x): (x-2) dư 21 <-> f(2) = 21 <-> 2.23 + a.2 + b = 21 <-> 2a +b = 5
Để tìm a , b ta giải hệ phương trình sau :
Vậy đa thức cần tìm là f(x) = 2x3+3x-1

Bài toán 2:
Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 , khi chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 . Tìm số dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) .
( Đề thi BDTX giáo viên THCS - Năm học 1999 - 2000 )
Lời giải:
Theo định lý Bơ - zu , ta có : f(x) : (x+1) dư 4 <-> f(-1) = 4
Do bậc của đa thức chia là 3 nên bậc của đa thức dư là bậc 2 .Vì thế ,đa thức dư có dạng ax2 + bx + c . Theo định nghĩa phép chia còn dư ta có :
f(x) = (x + 1)(x2 + 1).q(x)