Chuyên đề: Tính chia hết

CHUYEÂN ÑEÀ 2 :
TÍNH CHIA HEÁT
==============
A/ CHIA HEÁT SOÁ NGUYEÂN :

I/ MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN :
1/ a chia heát cho m, b chia heát cho m, c chia heát cho m, thì (a+b+c) chia heát cho m.
2/ a chia heát cho b ( a = bq
a khoâng chia heát cho b ( a = bq + r
3/ (a,b) = 1 vaø a.c chia heát cho b => c chia heát cho b
4/ c chia heát cho a, c chia heát cho b, vaø (a,b) = 1 => c chia heát cho a.b
5/ a chia heát cho m, b chia heát cho n, thì a.b chia heát cho m.n

II/ PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI :

1/ Phöông phaùp 1 : A(n) chia heát cho p; ta xeùt soá dö khi chia n cho p

Ví duï : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia heát cho 5
n chia cho 5 coù soá dö laø r =0,1,2,3,4,5
a/ Vôùi r = 0 thì n chia heát cho 5 => A(n) chia heát cho 5
b/ Vôùi r = 1 => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 thì (n2+4) chia heát cho 5=> A(n) chia heát cho 5
c/ Vôùi r = 2 => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 thì (n2+1) chia heát cho 5=> A(n) chia heát cho 5
d/ Vôùi r = 3 => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 thì (n2+1) chia heát cho 5=> A(n) chia heát cho 5
e/ Vôùi r = 4 => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 thì (n2+4) chia heát cho 5=> A(n) chia heát cho 5

2/ Phöông phaùp 2 : A(n) chia heát cho m; ta phaân tích m = p.q
a/ (p,q) = 1 ta chöùng minh: A(n) chia heát cho p, A(n) chia heát cho q => A(n) chia heát cho p.q
b/ Neáu p vaø q khoâng nguyeân toá cuøng nhau ta phaân tích A(n) = B(n).C(n) vaø chöùng minh B(n) chia heát cho p, C(n) chia heát cho q => , A(n) chia heát cho p.q

3/ Phöông phaùp 3 : Ñeå chöùng minh A(n)
m coù theå bieán ñoåi A(n) thaønh toång nhieàu haïng töû vaø chöùng minh moãi haïng töõ chia heát cho n.

4/ Phöông phaùp 4 : Ñeå chöùng minh A(n)
m ta phaân tích A(n) thaønh nhaân töû, trong ñoù coù moät nhaân töû baèng m hoaëc chia heát cho m: A(n) = m.B(n)
+ Thöôøng ta söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc :
an – bn
a – b ( a
b) n baát kyø.
an – bn
a – b ( a
- b) n chaün.
an + bn
a + b ( a
- b) n leû.

5/ Chöùng minh baèng quy naïp toaùn hoïc :
1/ Vôùi n = 1 ta xeùt baøi toaùn ñuùng hay khoâng
2/ Giaû söû baøi toaùn ñuùng vôùi n = k
3/ Ta chöùng minh baøi toaùn ñuùng vôùi n = k + 1 ( Löu yù thöôøng laø söû duïng ñieàu giaû söû 2/)

Ví duï CMR 16n – 15n – 1
225
n
N*
+ Vôùi n = 1 ta coù 16 – 15 – 1 = 0
225
+ Giaû söû baøi toaùn ñuùng vôùi n = k töùc laø ta coù :
16k – 15k – 1
225
Ta chöùng minh baøi toaùn ñuùng vôùi n = k + 1
Thaät vaäy : 16k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1 =
= ( 15+1 ) 16k – 15k – 15 – 1 =
= (16k – 15k – 1) + 15. 16k – 15
Theo giaû thieát qui naïp thì : 16k – 15k – 1
225
Coøn 15. 16k – 15 = 15(16k – 1)
Maø (16k – 1)
( 16 – 1) = 15
15(16k – 1)
15.15 = 225
Vì vaäy 16k+1 – 15(k+1) – 1
225
Hay 16n – 15n – 1
225
n
N*

B/ CHIA HEÁT ÑA THÖÙC :

1/ Ta söû duïng ñònh lyù Bô zu :
Soá dö trong pheùp chia ña thöùc f(x) cho nhò thöùc x – a baèng giaù trò cuûa ña thöùc f(x) taïi x = a.

Töø ñoù ta coù caùc heä quaû :
+ Ña thöùc f(x)
( x – a) < = > f(a) = 0 töùc laø khi a laø nghieäm cuûa ña thöùc/
Töø ñoù suy ra :
_ Ña thöùc f(x) coù toång caùc heä soá baèng 0 thì chia heát cho x – 1
_ Ña thöùc f(x) coù toång caùc heä soá cuûa soá haïng baäc chaün baèng toång caùc heä soá cuûa soá haïng baäc leû thì f(x)
( x + 1)

2/ Ña thöùc baäc 2 trôû leân :
Caùch 1 : Phaân tích ña thöùc bò chia thaønh nhaân töû trong ñoù coù nhaân töû chi heát cho ña thöùc chia.
Caùch 2 : Xeùt giaù trò rieâng.

3/ Chöùng minh ña thöùc chia heát cho ña thöùc khaùc :
Caùch 1 : Phaân tích ña thöùc bò chia thaønh nhaân töû trong ñoù coù 1 thöøa soá chia heát cho ña thöùc chia.
Caùch 2 : Bieán ñoåi ña thöùc bò chia thaønh toång caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia.
Caùch 3 : Söû duïng bieán ñoåi töông ñöông : chöùng minh f(x)
g(x) ta chöùng minh : f(x) + g(x)
g(x) hoaëc f(x) - g(x)
g(x).
Caùch 4 : Chöùng toû raèng moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia ñeàu laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia
=============================

MOÄT SOÁ BAØI TAÄP
- - - - - - - - -
1/ Chöùng minh raèng : n(n2 + 1)( n2 + 4)
5
2/ Chöùng minh raèng laäp phöông cuûa moät soá nguyeân n baát kyø ( n>1) tröø ñi 13 laàn soá nguyeân ñoù thì chia heát cho 6.
3/ Chöùng minh raèng : 24n – 1
15
4/ Chöùng minh raèng : 2.7n + 1
3;
n
N*
5/ Chöùng minh raèng : m3 + 20m
48;
n
N*, n chaün
6/ Chöùng minh raèng toång laäp phöông cuûa 3 soá töï nhieân lieân tieáp chia heát cho 9.
7/ Chöùng minh raèng : 5.72(n+1) + 23n
41;
n
N*
8/ Phaân tích ra thöøa soá : A = a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32
Töø keát quaû ñoù suy ra raèng bieåu thöùc : n4 – 6n3 + 27n2 – 54n + 32 luoân laø moät soá chaün vôùi moïi soá nguyeân döông n.
9/ Chöùng minh raèng : n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
24;
n
N
10/ Chöùng minh raèng : A = n3(n2 – 7)2 – 36n
5040;
n
N
11/ Chöùng minh raèng :
a/ Moät soá chính phöông chi cho 3 chæ coù soá dö baèng 0 hay baéng 1.
b/ Moät soá chính phöông chia cho 4 chæ coù soá dö baèng 0 hay baéng 1.
c/ Caùc soá sau coù phaûi laø soá chính phöông khoâng ;
M = 19922 + 19932 + 19942
N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
12/ Error! Not a valid link.16n – 1
17 khi n
N vaø n chaün.
13/ Chöùng minh raèng :
a
Z ta coù :
a/ a2 – a
2
b/ a3 – a
3
c/ a5 – a
5
d/ a7 – a
7 Töø baøi toaùn naøy ruùt ra ñöôïc ñieàu gì ?
14/ Chöùng minh raèng :
a/ ( n2 + n – 1)2 – 1
24;
n
Z
b/ n3 + 6n2 + 8n
48;
n chaün
c/ n4 - 10n2 + 9
384;
n leû
15/ a/ Cho a laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3, CMR : a2 – 1
24
b/ CMR neáu a,b laø caùc soá nguyeân toá lôùn hôn 3,t hì : a2 – b2
24
c/ Tìm ñieàu kieän soá töï nhieân a ñeå a4 – 1
240
16/ Tìm soá nguyeân n ñeå giaù trò bieåu thöùc A chia heát cho giaù trò bieåu thöùc B :
A = n3 + 2n2 – 3n + 2 ; B = n2 – n
17/ a/ Tìm soá nguyeân döông n ñeå n5 + 1
n3 + 1
b/ giaûi baøi toaùn treân vôùi n laø soá nguyeân
18/ Tìm giaù trò n
N ñeå n + 7
n – 2
19/ Tìm n
Z ñeå :
a/ n2 + 2n – 4
11
b/ 2n3 + n2 + 7n +1
2n – 1
c/ n3 – 2
n – 2
d/ n3 - 3n2 + 3n - 1
n2 +n + 1
e/n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + 1
n4 – 1
20/a/ CMR neáu n + 1 vaø 2n + 1 (n
N) ñeàu laø soá chính phöông thì n
24
b/ CMR neáu 2n + 1 vaø 3n + 1 (n
N) ñeàu laø soá chính phöông thì n
40
21/ Caùc soá p, p + 14, p + 10 laø nhöõng soá nguyeân toá; tìm p
22/ CMR 32n+2 – 8n – 9
64;
n
1

23/ Khoâng thöïc hieän pheùp chia ña thöùc xeùt xem x3 – 9x2 + 6x + 16 coù hay khoâng chia heát cho : a/ x + 1; b/ x – 3;
24/ Tìm soá dö pheùp chia x99 + x55 + x11 +x + 7 cho x + 1
25/ CMR : a/ x50 + x10 + 1
x20 + x10 + 1
b/ x2 - x9 – x1945
x2 - x + 1
c/ x10 - 10x + 9
(x – 1)2
d/ 8x9 - 9x8 + 1
(x – 1)2
26/ Tìm f(x); bieát f(x) chia cho x – 3 thì dö 7; chia cho x – 2 thì dö 5; coøn chia cho (x – 2)(x – 3) thì ñöôïc thöông laø 3x vaø coøn dö.
27/ Xaùc ñònh a,b ñeå : a/ x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b
x2 – x – 2
b/ 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2
x2 – x + b
28/ Vôùi ñieàu kieän naøo thì toång 2 ña thöùc chia heát cho x – 1, neáu moãi ña thöùc khoâng chia heát cho x – 1
29/ Vôùi ñieàu kieän naøo thì tích 2 ña thöùc chia heát cho x2 – 1, maø moãi ña thöùc khoâng chia heát cho x2 – 1
30/ Xaùc ñònh a,b,c ñeå : a/ P(x) = x4 + ax2 + bx + c
(x – 3)3
b/ P(x) = x3 – 5x2 – 8x + a
x2 +x + b
c/ P(x) = x3 + ax2 + 2x + b
x2 +x + 1











1/ Cho A = ( a+b+c)3 – a3 – b3 – c3 ( a,b,c laø caùc soá nguyeân )
a/ Phaân tích A thaønh nhaân töû ?
b/ CMR : Neáu a,b,c cuøng chaün hoaëc cuøng leû thì A ( 24 ?
2/ Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình :
a/ x2 - y2 = 105.
b/ x2 – 3y2 = 17
3/ Giaûi phöông trình
a/

b/ ( x – 1)m2 – (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0
4/ Cho Q = 32n+1 + 2n+2 ( n laø soá töï nhieân ). Chöùng minh raèng Q chia heát cho 7
5/ Cho ñieåm D trong
ABC ñeàu. Veõ caùc
BDE,
CDF ñeàu ( E, F, D naèm cuøng phía ñoái vôùi BC). Chöùng minh AEDF laø hình bình haønh


2/ Cho B = n3+ 3n2+ 2n vôùi n laø caùc soá nguyeân. Chöùng minh raèng B chia heát cho 6
3/ Cho n leû vaø C = n3 – n ; D = n2 + 4n – 5 . Chöùng minh raèng C (24 vaø D( 8.
4/ Cho F = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n ( n: chaün ). Chöùng minh raèng F chia heát cho 384.
5/ Cho K =
( n laø soá nguyeân). Tìm n ñeå K laø soá nguyeân.


1/ Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x2 + 2y2 = 1
2/ Tìm hình chöõ nhaät bieát caùc caïnh laø nhöõng soá nguyeân döông vaø soá ño dieän tích baèng soá ño chu vi ?
3/ Tìm taát caùc caùc soá nguyeân toá p sao cho toång taát caû caùc öôùc töï nhieân cuûa p4 laø moät soá chính phöông ?
4/ Tìm caùc chöõ soá x,y,z sao cho : xyz + xzy = zzz
5/ Tìm soá nguyeân toá p sao cho 4p + 1 laø soá chính phöông ?
6/Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa x2 - y2 = 105.
7/ Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình x2 - y2 = 93.
8/ CMR phöông trình x2 – 3y2 = 17 khoâng coù nghieäm nguyeân
9/ Giaûi vaø bieän luaän phöông trình :
a/ a2x = a2(x + b) – b.
b/ ( x – 1)m2 – (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0
c/
; d/

e/