Chuyen de tich phan dai hoc

Chuyên đề: TÍCH PHÂN
A – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
I – Phương pháp đổi biến số:
1) Đổi biến dạng u = u(x):
Phương pháp chung:
Bước 1: chọn t = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
Bước 2: Lấy vi phân dt = u’ (x)dx
Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
Bước 4: Khi đó I =

Dấu hiệu
Cách chọn

Hàm số có mẫu
t là mẫu số

Hàm số f(x,
)
t =


Hàm f(x) =

t = tan
(với cos

)

Hàm

+ Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt t =

+Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt t =



Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a)
b)
c)
d)

Giải
a) Đặt



b) Đặt


c) Đặt





d) Đặt



2) Đổi biến dạng x =
(t)
Phương pháp chung:
Bước 1: chọn x =
(t), trong đó
(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
Bước 2: Lấy vi phân dx =
’ (t)dt
Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
Bước 4: Khi đó I =


Các dấu hiệu:

Dấu hiệu
Cách chọn



x =
sint với
hoặc
x =
cost với






với
hoặc

với




x =
tant với
hoặc
x =
cot t với



hoặc

x = a.cos2t



x=a+(b-a)sin
t


Ví dụ: Tính

Giải
Đặt x = sint với


vì



Mà x = sint với

Nên

Chú ý: Tính tương tự như trên ta có công thức sau:

với a > 0 (Bằng cách đặt x = asint với
)
II – Phương pháp tích phân từng phần:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: biến đổi tích phân ban đầu về dạng:

Bước 2: Đặt

Bước 3: Khi đó:


Dấu hiệu nhận biết: Khi tính những tích phân dạng
với f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp cơ bản không cùng loại ta thường dùng tích phân từng phần. Cụ thể như sau:
a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàm như hàm sin, cos, hàm mũ thì đặt:
u = f(x) ; dv = g(x)dx
b) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là hàm lôgarit thì đặt u = g(x),dv = f(x)dx
c) Nếu
hoặc
thì đặt:
u = cos(bx) , dv =
dx hoặc u = sin(bx) , dv =
dx
d) Nếu f(x) =
hoặc f(x) =
, g(x) = 1 thì đặt u = f(x) , dv = g(x)dx = dx
Ví dụ: Tính tích phân sau:

Giải
Đặt



B – TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP:
I – Tích phân hàm hữu tỉ:
1) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản:
a)

b)

c)

Phương pháp chung: Biến đổi

Đặt
chuyển tích phân đã cho về dạng

Cách giải khác:
Khi biệt thức
của biểu thức dưới mẫu dương ta có cách giải sau:
Hướng giải ta phân tích:

Khi
= 0
Khi đó

d)

Biến đổi
sau đó đưa tích phân đã cho về dạng:
và tích phân dạng c).
Ví dụ: Tính

Giải
Ta có:



2) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát dạng

a) Bậc P(x) nhỏ hơn bậc Q(x):
- Phân tích Q(x) thành tích các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai hoặc các lũy thừa của chúng.
- Phân tích
Trong đó A, B, ….là các