Chuyên đề tích phân

PHẦN 1 : ĐẠO HÀM

TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Định nghĩa:


Các quy tắc tính đạo hàm:
Đạo hàm một tổng, hiệu:

Đạo hàm một tích:

* Trường hợp đặc biệt:
(
là hằng số) ta được:

Đạo hàm một thương:

* Trường hợp đặc biệt:
ta được:

Các công thức tính đạo hàm:





























BÀI TẬP:

( Ghi nhớ: Để làm các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức
, với
là hàm số cho trước, ta thực hiện các bước sau:
Tìm tập xác định của hàm số

Tính
(có khi ta phải rút gọn hàm số
trước, sau đó mới tính đạo hàm).
Thay
vừa tìm được vào biểu thức
, tiếp theo thực hiện theo yêu cầu của từng bài toán.

Bài 1: Cho hàm số
. Giải phương trình
.

Bài 2: Cho hàm số
. Chứng minh đẳng thức:
.

Bài 3: Cho hàm số
. Chứng minh đẳng thức:
.

Bài 4: Cho hàm số
. Chứng minh rằng:
.

Bài 5: Cho hàm số
.
Hãy tìm các giá trị của
sao cho:


Bài 6: Cho hàm số
.
a. Chứng minh rằng:
.
b. Giải phương trình
.

Bài 7: Cho hàm số
. Giải bất phương trình


Bài 8: Cho hàm số
.
Tìm các giá trị của
sao cho:


Bài 9: Cho hàm số
.
a. Giải phương trình
.
b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
.

Bài 10: Cho hàm số
.
Chứng minh bất đẳng thức sau:
.

Bài 11: Cho hai hàm số:
;
.
a. Tính
,
.
b. Chứng minh rằng:
.

Bài 12: Cho hàm số
.
Chứng minh rằng:
.


























PHẦN 2 : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN

§1. NGUYÊN HÀM:
Định nghĩa :
Hàm số
gọi là nguyên hàm của hàm số
trên
nếu
.
(Ghi nhớ : Nếu
là nguyên hàm của
thì mọi hàm số có dạng
(
là hằng số) cũng là nguyên hàm của
và chỉ những hàm số có dạng
mới là nguyên hàm của
. Ta gọi
là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số
và ký hiệu là
.
Như vậy:


Tính chất:
a.TC1:


b.TC2:


c.TC3: Nếu
thì
.

Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
:





































Bài tập:

(Ghi nhớ:
Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.

Bài 1: Cho hai hàm số
;
.
a. Chứng minh rằng
là nguyên hàm của
.
b. Tìm nguyên hàm
biết rằng
.

Bài 2: Cho hàm số
.
Tìm nguyên hàm
của hàm số
biết rằng
.

Bài 3: Cho hàm số
. Tìm hàm số
biết rằng
và
.

Bài 4: Cho hàm số
.
a. Giải phương trình
.
b. Tìm nguyên hàm
của hàm số
biết rằng đồ thị của hàm số
đi qua điểm
.

Bài 5: Biết rằng hàm số
là nguyên hàm của
. Hãy tìm các giá trị của
sao cho
.

Bài 6: Cho hàm số
.
a. Tính
và
.
b. Tìm nguyên hàm của hàm số
.

Bài 7: Cho hàm số
. Chứng minh rằng hàm số
là nguyên hàm của hàm số
.

Bài 8: Tìm nguyên hàm
của hàm số
,biết rằng
. (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ