Chuyên đề số phức lớp 12

SỐ PHỨC
I. GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP LÍ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC
I.1. CÁC KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng
, trong đó
được gọi là một số phức
Đối với số phức
, ta nói
là phần thực,
là phần ảo của
.
Tập hợp các số phức kí hiệu là
.
Chú ý:
Mỗi số thực
được coi là một số phức với phần ảo bằng 0:

Như vậy ta có
.
Số phức
với
được gọi là số thuần ảo ( hoặc số ảo)
Số
được gọi là số vừa thực vừa ảo; số
được gọi là đơn vị ảo.
2. Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau:

3. Số phức đối và số phức liên hợp
Cho số phức
,

Số phức đối của
kí hiệu là
và
.
Số phức liên hợp của
kí hiệu là
và
.
4. Biểu diễn hình học của số phức
Điểm
trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức
.
5. Môđun của số phức
Giả sử số phức
được biểu diễn bởi
trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài của vectơ
được gọi là môđun của số phức
và kí hiệu là
.
Vậy:
hay
.
Nhận xét:
.
I.2. CÁC PHÉP TOÁN
1. Phép cộng và phép trừ
Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức.
Tổng quát:


2. Phép nhân
Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay
trong kết quả nhận được.
Tổng quát:


Chú ý:
Phép cộng và phép nhân các số phức có đầy đủ các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.
Cho số phức
,
. Ta có:
;
.
3. Phép chia hai số phức
Với
, để tính thương
, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của

Cụ thể:
.
I.1.3. TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức
,

Tính chất 1: Số phức
là số thực

Tính chất 2: Số phức
là số ảo

Cho hai số phức
ta có:
Tính chất 3:

Tính chất 4:

Tính chất 5:

Tính chất 6:

Tính chất 7:

Tính chất 8:

I.1.4. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TRƯỜNG TẬP HỢP SỐ PHƯC
1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai:
có

TH1: a, b, c là các số thực
Nếu
thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt

Nếu
thì phương trình có nghiệm kép thực

Nếu
thì phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt

TH2: a, b, c là các số phức

thì phương trình có nghiệm kép thực



Khi đó phương trình có hai nghiệm

2. Chú ý
Phương trình bậc hai trên tập hợp số phức với hệ số thực luôn có 2 nghiệm là 2 số phức liên hợp.
Khi b là số chẵn ta có thể tính
và công thức nghiệm tương tự như trong tập hợp số thực.
Gọi
là 2 nghiệm của phương trình
a, b, c là các số thực hoăc số phức. Khi đó ta có:


II. GIẢI PHÁP 2: CHIA THÀNH CÁC CHUYÊN ĐỂ NHỎ
II.1. CHUYÊN ĐỀ 1: Tính toán trên tập hợp số phức
II.1.1.Dạng 1: Thực hiện các phép tính trên tập hợp số phức. Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của một số phức
A. Phương pháp
Sử dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức để tính toán giá trị các biểu thức.
Để xác định phần thực, phần ảo và môđun của số phức
thì ta phải sử dụng các khái niệm liên quan đến số phức và các phép toán trên tập hợp số phức để biến đổi số phức
. Khi đó:
có phần thực bằng
phần ảo bằng

Trong khi tính toán về số phức ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực.
B. Bài tập minh họa
Bài 1: Cho số phức

Tìm các số phức sau:

Lời giải:
a)

b)

c)

d)

Nhận xét: Với bài tập trên, học sinh dễ dàng tính được. Qua bài tập này mục đích giúp học sinh nhớ lại khái niệm số phức liên hợp và biết cách tính toán