Chuyên đề Số chính phương

SỐ CHÍNH PHƯƠNG

1) Định nghĩa: Là số có dạng
.
2) Tính chất:
Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1
Nếu a=3k thì
; Nếu
thì

Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào
Số chính phương không thể có tận cùng là 2, 3, 7, 8.
Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính phương.
Nếu a, b chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương.
HD: G/s ab= c2và gọi d=(a,c) suy ra a=a1d; c=c1d, (c1, d1)=1do đó ab=c12d
+ Do

+ Do

Nếu một số chính phương chia hết cho p, p- nguyên tố thì số chính phương đó chia hết cho p2. Do đó nếu một số a chia hết cho số nguyên tố p nhưng số a không chia hết cho p2 thì a không là số chính phương.

3) Bài tập

Chứng minh rằng tổng của hai số chẵn liên tiếp không chính phương.
HD:

Chứng minh rằng tổng các bình phương của 2 hoặc 3 số nguyên lẻ không chính phương.
HD:

Chứng minh rằng một số chẵn bất kì không phải là bội của 4 thì không thể phân tích thành hiệu 2 số chính phương.
HD:

Do vế trái chẵn nên hai số a và b có cùng tính chẵn lẻ suy ra (a-b) và (a+b) cùng chẵn. Khi đó vế phải chia hết cho 4.
Chứng minh phương trình 13x2 +2 =y2 không có nghiệm nguyên.
HD: + x và y cùng tính chẵn lẻ
+ Khi y chẵn:

+ Khi y lẻ :

Tìm
để
là chính phương.
HD: +

+ n=2: 25 là chính phương.
+ n=0 hoặc 1 thì không thoả mãn
Chứng minh rằng không tồn tại để 24n+41 là chính phương.
HD: G/s 24n+41=t2
+ Nếu t chia hết cho 3 thì 24n+41=3(8n+13)+2 không chia hết cho 3
+ Nếu t không chia hết cho 3 thì

Chứng minh không tồn tại
để 7.10n+4 là chính phương.
HD:

Chứng minh rằng tích của 2 số tự nhiên khác không liên tiếp không chính phương.
HD: có n2 < n(n+1) < n2+2n+1 = (n+1)2
Tìm
n2 + 3n là chính phương.
HD: Dễ thấy n = 0;1 đúng.
Ngoài ra, có n2+2n+1< n2+3n < n2+4n+4 hay (n+1)2 < n2+3n< (n+2)2
Tìm
để n2 + 3 chia hết cho 5.
Tìm
để n! + 97 là chính phương.
HD: Nếu
thì n!+97 có tận cùng là 7 nên không chính phương.
Nếu n = 4 thì 24+97 = 121= n2
Nếu
thì đều không thoả mãn.
Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính phương.
Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1994 hoặc 1995 được hay không?
HD: a)
. Vì
nên nếu S(N)=1994 thì

b) vì 1995 chia hết cho 3, nhưng 1995 không chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của 1 số chính phương không thể bằng 1995.
Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không chính phương.
HD:
nhưng không chia hết cho 25.
Chứng minh rằng không tồn tại
để n2+n+2 chia hết cho 3.
HD: G/s
để n2+n+2=3k khi đó n2+n+2-3k = 0 có nghiệm nguyên dương
Có
là số chính phương. Điều này vô lí vì

Gọi N=2.3.4…Pn là tích của n số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng cả 3 số N, N-1, N+1 đều không là số chính phương.
HD: Nếu N chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên N không chính phương.
Nếu N+1=k2 thì k lẻ khi đó

Nếu
th ì N-1 không chính phương.
Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ không chính phương.
Chứng minh rằng số chính phương có chứa chữ số lẻ