Chuyên Đề PT&BPT VÔ TỈ

CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I.PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trình

Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của
hay

Dạng 2: Phương trình

Dạng 3: Phương trình
+)
(chuyển về dạng 2)
+)

và ta sử dụng phép thế :
ta được phương trình :

Bài 1: Giải phương trình:
a)

b)

c)

e)

f)

g)

h)

i)


Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Bài 3: Cho phương trình:

-Giải phương trình khi m=1
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phương trình:

-Giải phương trình khi m=3
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.



1. Bình phương 2 vế của phương trình
Phương pháp
Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng :
, ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau


và ta sử dụng phép thế :
ta được phương trình :


Ví dụ
Giải phương trình sau :

Giải: Đk

Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:
, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :

Bình phương hai vế ta có :

Thử lại x=1 thỏa
Nhận xét : Nếu phương trình :

Mà có :
, thì ta biến đổi phương trình về dạng :
sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả
Bài 2. Giải phương trình sau :

Giải: Điều kiện :

Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét :
, từ nhận xét này ta có lời giải như sau :


Bình phương 2 vế ta được:

Thử lại :
l nghiệm
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :

Mà có :
thì ta biến đổi


2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm
như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích
ta có thể giải phương trình
hoặc chứng minh
vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía
vô nghiệm
Ví dụ
Bài 1 . Giải phương trình sau :


Giải:
Ta nhận thấy :
v

Ta có thể trục căn thức 2 vế :

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :

Giải: Để phương trình có nghiệm thì :

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :


Dễ dàng chứng minh được :

Bài 3. Giải phương trình :

Giải :Đk

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình


Ta chứng minh :


Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp
Nếu phương trình vô tỉ có dạng
, mà :

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của
. Ta có thể giải như sau :

, khi đĩ ta có hệ:

b) Ví dụ
Bài 4. Giải phương trình sau :

Giải:
Ta thấy :


không phải là nghiệm
Xét

Trục căn thức ta có :

Vậy ta có hệ:

Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=


Bài 5. Giải phương trình :

Ta thấy :
, như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt
thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau :



(HSG Toàn Quốc 2002)








(OLYMPIC 30/4-2007)









3. Phương trình biến đổi về tích
Sử dụng đẳng thức






Bài 1. Giải phương trình :

Giải:

Bi 2. Giải phương trình :

Giải: