Chuyen de phuong trinh, he pt, bat pt

A. PHƯƠNG TRÌNH:
I- Phương pháp 1: Nâng lên luỹ thừa


<=>
;
=g(x) <=>

Hệ quả:

<=>

Trong TH này chú ý chọn f(x) (hoặc g(x)) sao cho việc giải
(hoặc
) đơn giản hơn.
VD:


<=>
<=>

Vậy x=2.
II-Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ (hoàn toàn và không hoàn toàn)
Một số chú ý:
Nếu biểu thức trong căn và ngoài căn có hệ số các hạng tử cùng bậc (không kể hằng số tự do) thì đặt căn thức làm ẩn phụ.
Nếu biểu thức chứa nhiều lớp căn thì có thể đặt căn thức trong cùng làm ẩn phụ.
Phương trình dạng nhiều căn
, chú ý mối liên hệ giữa các biểu thức dưới dấu căn. Có thể là: A(x)
B(x)=k.C(x) , A2(x)
B2(x)=k.C(x) , A(x).B(x)=k.C(x) , A(x).B(x)=k
VD1: Giải phương trình:

Điều kiện:

Nhận xét.

Đặt
thì phương trình có dạng:

Thay vào tìm được

VD2. Giải phương trình:

Điều kiện:

Đặt
thì
. Thay vào ta có phương trình sau:




Ta tìm được bốn nghiệm là:

Do
nên chỉ nhận các gái trị

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l:
và


*Phương trình dạng:

Như vậy phương trình
có thể giải bằng phương pháp trên nếu

Chú ý một số đẳng thức:








VD. Giải phương trình:

Đặt
Phương trình trở thành :

Tìm được:

* Phương trình dạng :

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện” hơn dạng trên, nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
VD: Giải phương trình :

Ta đặt :
khi đó phương trình trở thành :

*Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn:
VD1: Giải phương trình:

Đặt
, ta có:

VD2. Giải phương trình:

Đặt:

Khi đó phương trình trở thành :


Bây giờ ta thêm bớt, để được phương trình bậc 2 theo t có
chẵn:

*Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
Xuất phát từ một số hệ “đại số đẹp” chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức
, Ta có


VD1. Giải phương trình :

Giải :
, ta có :
, giải hệ ta được:

VD2. Giải phương trình sau :

Ta đặt :
, khi đó ta có :

*Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
Đặt
và tìm mối quan hệ giữa
và
từ đó tìm được hệ theo u,v
VD: Giải phương trình:

Đặt

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:
, giải hệ này ta tìm được
. Tức là nghiệm của phương trình là

Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau

(ĐS: x=7 hoặc x=
)

(ĐS: x=1 hoặc x=-4)

(ĐS: x=
)

(ĐS: x=1 hoặc x=4)

(ĐS: x=2)

(ĐS: x=6 hoặc x=-7)

(ĐS: x=0)

(ĐS: x=0)

(ĐS: x=1 hoặc x=36)

(ĐS: x=0)
Một số dạng phương trình hay gặp:
Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0
Cách giải: Đặt x2=t (t
0) đưa về phương trình bậc hai at2+bt+c=0. Giải t rồi suy ra x.
VD: x4-2x2+1=0 . Đặt t=x2 (t
0) => t=1 => x=
1
Dạng 2: (x+a)4+(x+b)4=c (1)
Cách giải: Đặt t=
=>

Thay vào (1) ta có: 2t4+12
t2+2
-c=0 ta được phương trình trùng phương như cách giải ở trên.
VD:
+
=