Chuyên đề - Phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ 1
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
28a2b2 ( 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab ( 3b + 2a)
2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y ( z) – 5y(y ( z) = (y – z)(2 ( 5y)
xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)
= ( x2 + 1)( 2x – 3)
x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 ( 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Phối hợp nhiều phương pháp
Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.
Đặt nhân tử chung.
Dùng hằng đẳng thức.
Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)

II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx):
Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = ai + ci
Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải
3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
= (x + 2)(3x +2)
Cách 2 (tách hạng tử bậc hai ax2)
Làm xuất hiện hiệu hai bình phương :
f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
=