Chuyên đề: nét đẹp của định lý 4 điểm

Học sinh đã được học định lý Pytago ngay từ lớp 7. Vẻ đẹp của nó vang dội trong suốt quá trình học tập của học sinh sau này. Để khẳng định một tam giác vuông thông thường ta sử dụng địnhlý Pytago . Thế còn muốn khẳng định một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau, ta làm thế nào ? Trong chuyên đề này , tôi muốn đưa ra một dấu hiệu chứng minh bài toán : Điều kiện cần và đủ dể hai đường chéo của một tứ giác vuông góc với nhau và một số bài toán áp dụng . Đó là định lý 4 điểm. Mong chuyên đề này , giúp thày cô và học sinh năng khiếu có một phương pháp giải quyết tốt một lớp bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc.










Ngô Đức Minh
GV THCS Ngô Gia Tự – Quận Hồng bàng


Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, thông thường ta gắn chúng vào hai cạnh của tam giác , rồi tìm cách chứng minh tam giác đó vuông theo quan hệ giữa các góc hay giữa các cạnh. Đôi khi có sử các tính chất đặc trưng , chẳng hạn: Tính trực tâm của tam giác , tiên đề ơclít về đường thẳng vuông góc hoặc tính vuông góc với một trong các đường thẳng song song.... Trong bài viết này , tôi muốn đưa ra một phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào một dấu hiệu của tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Định lý 1: Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi
tổng các bình phương của hai cạnh đối diện bằng nhau.

Chứng minh :
Điều kiện cần: Tứ giác ABCD có hai đường chéo
AC và BD vuông góc với nhau tại O thì ta có :

Thật vậy , theo định lý Pytago ta có :

Suy ra :

Điều kiện đủ: Tứ giác ABCD có
thế thì hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O .
Thật vậy:
+) Nếu tứ giác ABCD có AB = BC thế thì CD = AD. Khi đó theo tính chất đường trung trực của đoạn thẳng ta có : AC ( BD
+) Xét trường hợp AB ( BC . Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại O .
Từ D hạ DE ( AC và DF ( BO .
Không giảm tính tổng quát , Giả sử điểm O nằm giữa A và E
Và ta có tứ giác OEDF là hình chữ nhật.
Sử dụng định lý Pytago ta được :

( vì ED = OF )

Mà
( vì ED = OF )

Do nên 2.OA.OE + 2.OC.OE = 0 ( OE .( OA + OC ) = 0
Vì A ( C nên OA + OC ( 0 . Bởi vậy độ dài OE phải bằng 0, tức là E trùng với O.
Suy ra D trùng với F . Hay AC(BD tại O.
Như vậy , định lý đã được chứng minh .
Việc vận dụng định lý vào chứng minh hai đường thẳng vuông góc như sau:
Muốn chứng minh hai đường thẳng AC và BD vuông góc với nhau ,
ta cần chứng minh: và ngược lại.
Sau đây là một số bài tập được vận dụng định lý trên.

Bài toán 1 : Chứng minh rằng : Nếu tổng các bình phương hai cạnh đối diện của một tứ giác bằng tổng