Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lý Vi-ét

Chia sẻ bởi Nguyễn Xuân Phan | Ngày 14/10/2018 | 168

Chia sẻ tài liệu: Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lý Vi-ét thuộc Tư liệu tham khảo

Nội dung tài liệu:

A . Đặt vấn đề
( ( (
------------------------------------
I - Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chương trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai là vô cùng phong phú. Do vậy khả năng gặp phương trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vào THPT, vào các trường chuyên, lớp chọn là rất cao. Mà đặc biệt là các bài toán liên quan đến định lý Viet.
Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thường lúng túng khi đứng trước các bài toán có liên quan đến định lý Viet và ứng dụng một số ứng dụng của định lí này. Trước thực tế đó, nhằm giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết được các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, chúng tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề:
“Một số ứng dụng của định lý Viet”
II. Mục đích nghiên cứu
- Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trước những thiên hướng tốt, chưa tốt mà tôi thấy rất cần phân loại và một số phương pháp giải cho các em
- Thứ hai: Bản thân người thầy cũng rầt cần trau dồi tự học và tham khảo làm chủ kiến thức
III. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phuơng trình bậc hai, định lý Viet trong chương trình đại số lớp 9
- Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
- Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dựỡng học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT.
- Qua trao đổi , học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, những đồng chí có nhiều năm công tác, có bề dày kinh nghiệm
IV. Nhiệm vụ của đề tài
Đề cập tới một số ứng dụnh của định lý Viet. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng dạng , cách giải quyết từng dạng. Từ đó dần hình thành khả năng tổng hợp, khái quát và các năng lực tư duy khác cho học sinh.
V. Giới hạn nghiên cứu
- Chuyên đề này áp dụng được với mọi đối tượng học sinh. Tuy nhiên với mỗi đối tượng thì giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập với mức độ khó, dễ phù hợp.
- Chuyên đề này áp dụng tốt nhất trong việc ôn luyện học sinh giỏi, hướng dẫn học sinh ôn thi vào THPT, đặc biệt là ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn.

b. giải quyết vấn đề
( ( (
------------------------------------
I – cở sở của lý thuyết
1. Điều kiện về nghiệm của phương bậc hai một ẩn
Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*).

a) Nếu < 0 thì (*) vô nghiệm
b) Nếu = 0 thì (*) có nghiệm kép:
c) Nếu > 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt ;
* Nếu (*) có nghiệm, gọi nghiệm đó là x1, x2 thì: (Viet)

Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét

Dạng 1:
ứng dụng của định lí Viét
vào việc nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a 0

I. Phương pháp giải
Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (*)
1. Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm
2. Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm
3. Nếu ; và thì phương trình có nghiệm:
hoặc
II. Một số ví dụ

VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a. (1)
b. (Với m2; m 3, x là ẩn) (2)
c. (m -3)x2 – (m +1)x – 2m + 2 = 0 ( m là tham số, x là ẩn) (3)

Hướng dẫn:
a. ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c 0, a - b + c 0, nhưng có a.c = < 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt . áp dụng hệ thức Viét có: Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và
b. Đây là phương trình bậc hai có: a + b + c
(Với m 2; m 3). Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
c. ở phương trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay:
a – b + c = m – 3 + m + 1 – 2m + 2 = 0. Nên ; mà không thấy được phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai.
Vì vậy ta cần xét m – 3 = 0; m – 3 0, rồi nhẩm nghiệm.
Giải:

+ Nếu m – 3 = 0 m = 3 thì phương trình (3) trở thành -4x – 4 = 0 x = -1
+ Nếu m – 3 0 m 3 phương trình (3) có a – b + c = 0, nên có 2 nghiệm .

Kết luận:
Như vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (*) thì ta cần
+ Xét a = 0 sau đó nhẩm nghiệm
+ Xét a 0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm
Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt). Để giải quyết được tốt các định lí, khi đó phải đưa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm được nghiệm.

VD2: Nhẩm nghiệm của phương trình (4)

Hướng dẫn
PT (4) có tổng các hệ số là: 5 + 1 – 5 – 1 = 0, nên PT (4) có nghiệm x = 1.
Khi đó ta đưa PT (4) về dạng: (x -1)(5x2 + 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x2 + 6x + 1 = 0
Kết quả phương trình (4) có 3 nghiệm: x1 = 1; x 2 = -1; x3 =
VD3:
Giải phương trình : (x +1)(5x2 - 6x - 6 ) = 0

Hướng dẫn: Phương trình trên có dạng 5x2 (x +1) – 6 ( x+ 1)2 = 0 (5)

Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phương trình (5) nên ta chia 2 vế cho ( x +1)2 ta được:
+ 5 - 6 = 0
Đặt ta được + 5 – 6 = 0
Dễ dàng nhận được = 1 ; = -6
Sau đó giải tiếp tìm được x

Dạng 2:
Tính giá trị của một biểu thức
giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

I. Phương pháp giải
Đối với bất phương trình giữa các nghiệm của một phương trình.
ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các nghiệm.
Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x1 + x2 và P = x1 x2 nhờ đó có thể tính được giá trị của biểu thức mà không phải giải phương trình.
II. Một số ví dụ

VD1: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai 3x2 – cx + 2c -1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức A = +

Giải: Theo định lý viét ta có:
S = + = =
S = =
Với biểu thức không đối xứng 2 nghiệm trước hết ta cũng phải tính S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 Sau đó cần kéo biến đổi biểu thức đó nhiều xuất hiện S và P từ đó ta tính được giá trị của biểu thức.

VD2: Không giải phương trình , hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nhỏ của phương trình bậc hai : x2 - (*)

Hướng dẫn: Phương trình (*) có 0 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 . Không mất tính tổng quát. Giả sử x1 x2 .
áp dụng định lý viét, ta có S = x1 + x2 = và P = x1 . x2 =
ta có = (x1 - x2 ) = (x1 - x2 )
Do x1 x2 nên
x1 - x2 = = =
Vậy = = = = 1
VD3:
a. Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của phương trình = 0
Tính S = theo a.
b. Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận làm nghiệm.

Hướng dẫn:
a. ở đây không biẻu diễn trực tiếp được dưới dạng x1 + x2 và x1 . x2 . Tuy nhiên ta có thể biểu diễn S = =
Như vậy ta phải tính ; theo a.
Thật vậy kí hiệu . Theo Viét ta có:
Do đó
=

Vậy
b. Để tìm một đa thức bậc 7 nhận làm nghiệm nghĩa là ta phải tìm một đa thức bậc 7 mà khi thay vào thế giá trị của đa thức bằng 0: Theo phần a có:
=
- (1)
Như vậy trước hết ta phải lập 1 phương trình bậc 2 có là hệ số:
Đặt ; ta có:
x1 + x2 = ; x1 . x2 =

Do đó x1, x2 là các nghiệm của phương trình
Theo (1)
15
Vậy đa thức cần tìm là 15
Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trước hết ta tách S =x1 + x2 ; P= x1 . x2 sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức đã cho nhằm x hiệu S; P từ đó tính được giá trị của biểu thức.

VD4: Cho phương trình . Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1, x2
Tính giá trị của biểu thức A =

Hướng dẫn : ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 vế nghiệm x1 , x2 .Như vậy nếu để ý kỹ ta thấy
(Đề thi vào lớp 10 THPT Nguyễn Trãi năm học 2005-2006)
Có x1 + x2 = 5; x1 . x2 = 3 x1 , x2
Vì x1 là nghiệm của phương trình nên

=
=
Khi đó A =

= 5+2 - 2
A = 1 ( vì A
* ở VD7 sau không có mặt nhưng vội vằng bình phương 2 vế ngay khi đó gặp bế tắc. Thế nhưng nếu học sinh khéo thay thế bởi như trên với bình phương 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính đước 1 cách dễ dàng . Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó cũng là 1 phương án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều. Với phương trình acó 2 nghiệm x1 , x2 và S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 . Khi đó :

=
=
=
.
VD 5: Cho phương trình , có 2 nghiệm x1 , x2 ( thì giá trị của các biểu thức :
A=
B=

Hướng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1. áp dụng các hệ thức trên ta có:
;

=
Ta có :
A=

B =
=
=
=
Vì phương trình có ac = -1 0 nên , trái dấu mà Khi đó
B = 3
B = 3
= 3.2 -
*. Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình. Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình . Để làm được các bài tập kiểu này ta phải tìm S,P trong từng phương trình rồi xem xét, thay thế 1 cách hợp lý ( thường thì phải tha

* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...

Người chia sẻ: Nguyễn Xuân Phan

Dung lượng: 1,18MB| Lượt tài: 7

Loại file: doc

Nguồn : Chưa rõ

(Tài liệu chưa được thẩm định)

Tải tài liệu

Báo cáo sai sót

Đề suất chỉnh sửa , phân lại mục