Chuyên đề hàm số

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

( Vấn đề 1: Phép biến đổi đồ thị :

Phương pháp:
1) Dạng 1: Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị (C1):
, với các ghi nhớ:
* (C): y = f(x) và (C`): y = - f(x) đối xứng nhau qua Ox
* Viết

* Đồ thị (C1) :
được vẽ bằng các bước:
+ Giữ lại đồ thị (C) nằm phía trên O�x
+ Lấy đối xứng qua Ox của phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox
+ Hợp 2 phần đồ thị ta được đồ thị (C1):

2) Dạng 2:Từ đồ thị (C):y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C2):
với các ghi nhớ
*
là hàm chẵn nên có đồ thị đối xứng qua Oy
* Ta vẽ đồ thị (C2) qua các bước:
+ Giữ lại phần đồ thị (C) bên phải Oy
+ Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại của (C)
+ Hợp 2 phần đồ thị ta có đồ thị (C2):

3) Dạng 3: từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C3):
bằng cách kết hợp dạng 1 và dạng 2
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục qua Oy (sau khi bỏ đi phần bên trái Oy. Giữ nguyên phần bên phải, hợp của nó và phần lấy đối xứng là đồ thị (C2)

+ Lấy đối xứng tất cả các phần đồ thị (C2) vừa kết hợp nằm dưới trục Ox lên trên Ox
+ Giữ nguyên phần bên trên, lúc đó ta có đồ thị của hàm (C3):

4) Dạng 4: Ta xét trường hợp đơn giản
Từ đồ thị (C) :
(giả sử a > 0) suy ra đồ thị (C4)


Qua các bước :
+ Vẽ (C), và bỏ đi nhánh đồ thị của (C) bên trái tiệm cận đứng (d):

+ Lấy đối xứng phần (C) bên trái tiệm cận đứng (d):
vừa bỏ đi qua d
Tương tự với a < 0 (ta có thể nhân tử và mẫu với -1)
Tương tự với các đồ thị (C4)
hay
... và các đồ thị
hay

5) Dạng 5:Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đường cong biểu diễn (C5):

hay (C5):
qua các bước
+ Vẽ (C): y = f(x) và bỏ phần ở dưới trục Ox
+ Lấy đối xứng phần giữ lại qua trục Ox, (xuông phía dưới trục Ox)


Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)
Khảo sát và vẽ đồ thị

Suy ra đồ thị

Giải: Đồ thị (C)


Đồ thị (C1)



Bài toán 2: (Phép suy thứ hai)
Vẽ đồ thị

Đồ thị (C2)


Bài toán 3: (Phép suy thứ ba)
Vẽ đồ thị

Đồ thị (C3)



Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)
Vẽ đồ thị

Đồ thị (C4)


Bài toán 5: (Phép suy thứ năm)
Vẽ đồ thị





( Vấn đề 2: Biện luận tương giao của hai đường:

Phương pháp : Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y= g(x)
Biện luận sự tương giao của (C1) với (C2)
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)
f(x) = g(x)
f(x) - g(x) = 0 (1)
* Giải và biện luận phương trình (1)
* Kết luận : số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C1) với (C2)
- Phương trình (1) có nghiệm đơn : (C1) cắt (C2)
- Phương trình (1) có nghiệm kếp : (C1) tiếp xúc (C2)


Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có
hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x - 2) + 4
(C) : y = x3 - 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)
x3 - 3x + 2 = m(x - 2) + 4
( (x - 2)( x2 + 2x + 1 - m) = 0 (1)
* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)
Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2
Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + 1 - m = 0 (2)
Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 - m = 0
m = 9
Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = - 4
Nếu m ? 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ? 2
Ta có

m < 0
: (2) vô nghiệm
m = 0
: (2) có nghiệm kép x = - 1
0 < m ? 9
: (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
Kết luận:
m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm
m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại 1 điểm
0 < m ? 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm
m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại điểm (2; 4)

Bài toán 2: Cho hàm số y =
(C)
Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng (D) y = mx + 2 - m cắt đồ thị
(C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị (C)
Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) :
x2 + 4x + 1 = mx2 + 2x + mx + 4 - 2m (với x ? - 2)

(1 - m)x2 + (2 - m)x + 2m - 3 = 0 (*)
(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thị (C)

(*) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 < x2 < - 2 V - 2 < x1 < x2






Kết luận :
thì (D) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng
một nhánh của (C)
Bài toán 3:Cho hàm số
. Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thị (C) và đối
xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x - 1
Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x - 1. Suy ra A, B thuộc
đường thẳng (d`) y = -x + m
Phương trình hoành độ giao điểm của (d`) và (C)
x2 = (x - 1)( - x + m) (đk : x ? 1)

2x2 - (m + 1)x + m = 0 (*)
Ta có
= (m + 1)2 - 8m > 0

m2 - 6m + 1 > 0


Giả sử (d`) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:


A và B đối xứng qua (d)

I thuộc (d): y = x - 1




m = - 1
Lúc đó (*) thành trở thành : 2x2 - 1 = 0
x =

Vậy


Bài toán 4:Cho (P) y = x2 - 2x - 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x sao
cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B
a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc
b) Viết phương trình (d) khi AB = 10
Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
x2 - 2x - 3 = 2x + m

x2 - 4x - 3 - m = 0
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B


= 7 + m > 0

m > -7
Lúc đó gọi xA , xB là 2 nghiệm của (1) ta có
S = xA + xB = 4
P = xA xB = - 3 - m
a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc ( f`(xA )f`(xB) = -1

(2 xA -2)(2 xB -2) = - 1

4P - 4S + 5 = 0

4(-3 -m) -16 + 5 = 0

m =
(nhận vì m > -7)
b) A, B thuộc (d)
yA = 2 xA + m
yB = 2 xB + m
Ta có AB2 = 100
(xA - xB)2 + (yB - yA)2 = 100

(xA - xB)2 + (2 xA -2 xB)2 = 100

(xA - xB)2 = 20

S2 - 4P = 20

16 + 4(3+m) = 20

m = - 2 (nhận vì m > -7)

Bài toán 5 : Cho hàm số

Tìm a để đường thẳng
: y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành
độ trái dấu
Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và
:







cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu

(*) có 2 nghiệm phân biệt




( Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến :

Phương pháp :
1)Loại 1: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) tại điểm M(x0; y0)
Tính y` = f`(x)
y`(x0) = f`(x0)
Phương trình Tiếp tuyến (C) tại M(x0;y0) là: (y - y0) = f`(x0)(x - x0)
2)Loại 2: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và đi qua điểm A
- Cách 1:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) đi qua A(xA; yA) và có hệ số góc k : (D) : y =k(x - xA) + yA
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = k(x - xA) + yA (1)
* (D) là tiếp tuyến của (C) khi (1) có nghiệm kép, từ đó xác định đuợc k. Từ đó viết được phương trình (D)
- Cách 2:
* Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm
* Phương trình tiếp tuyến (D) tại M: (y - y0) = f`(x0)(x - x0)
* (D) đi qua điểm A nên : (yA - y0) = f`(x0)(xA - x0) (1)
Giải (1) tìm được x0, từ đó tìm được phương trình của (D)
3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và có hệ số góc cho trước
- Cách 1:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) và có hệ số góc k
(D) : y = kx + m (1)
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = kx + m
* (D) là tiếp tuyến của (C)
(1) có nghiệm kép. Từ đó tìm được giá trị của m , từ đó viết được phương trình của (D)
- Cách 2:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) và M(x0; y0) là tiếp điểm:
(D) có hệ số góc k
(D) có hệ số góc f`(x0)

f`(x0) = k (1)
* Giải (1) tìm được x0 ; y0 = f(x0). Từ đó viết được phương trình của (D)


Bài toán 1: Cho hàm số (C)
. M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B .
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M
Giải:


tiếp tuyến tại M là (d)




Tiệm cận đứng của (C) là (d1) : x = 1

Tiệm cận xiên của (C) là (d2) :

Ta có :



Vậy M là trung điểm của AB
Giao điểm của 2 tiệm cận là



Vậy SIAB không phụ thuộc vào M

Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 9x + 5 (C) .
Tìm tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Giải : Gọi M(x0; y0)
: hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f`(x0) =

Ta có
. Dấu "=" xảy ra khi x0 = - 1
Vậy Min k = - 12
M(-1; 16)
Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc nhỏ nhất

Bài toán 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = - x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao
cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)
x3 + mx2 + 1 = - x + 1

x(x2 + mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x2 + mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0


Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0


Tiếp tuyến tại B và C vuông góc











(nhận so với điều kiện)

Bài toán 4: Cho hàm số y