Chuyên đề Cấp số - Dãy số 11 nâng cao ....Avi

CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
PHẦN I: DÃY SỐ
1, Lý thuyết
+ Định nghĩa 1: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số).
+ Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định trên tập m số nguyên dương đầu tiên (m là số nguyên dương cho trước) là một dãy số hữu hạn.
+ Dãy số tăng: (Un) là dãy số tăng <->

+ Dãy số giảm: (Un) là dãy số giảm <->

+ Dãy số bị chặn trên: (Un) gọi là bị chặn trên nếu
M sao cho
.
+ Dãy số bị chặn dưới: (Un) gọi là bị chặn dưới nếu
m sao cho
.
+ Dãy số bị chặn: (Un) gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên và dưới.
2, Bài tập
Dạng 1:Xác định một số số hạng của dãy số.Xác định số hạng tổng quát của dãy số:
Bài 1: Viết 4 số hạng đầu của dãy số (Un) biết:
Un=

Un=

Un=

Un= 2-ncosn



Bài 2: Cho dãy số xác định: (Un)={1;2;-3;-4;5;6;-7;-8....}
Thiết lập công thức cho số hạng tổng quát Un sao cho công thức ấy phù hợp với 8 số hạng ban đầu đã cho của dãy:
Giải : Gọi
là phần nguyên của số
(là số nguyên lớn nhất không vượt quá
)
Khi đ?:
=0;
=0;
=1;
=1;
=2;
=2;
=2;
=3
8 số hạng đầu tiên của dãy số thoả măn công thức Un=

Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số:

Giải: U1=3
U2=2U1=3.2
U3=2.U2=3.22
.....................
Dự đoán: Un=3.2n-1.Sau đó khẳng định bằng quy nạp.
Bài 4: Cho dãy số (Un) xác định :
. Xác định số hạng tổng quát.
Giải: Do Un=Un-Un-1+Un-1-Un-2+...+U2-U1+U1
= 2 + +.......2 +U1=2n+1
Bài 5: Cho dãy số xác định
. Tính Un theo n
Giải: Do Un=

Bài 6: Cho dãy số xác định bởi:
.Tìm Un theo n.
Giải: U1=

U2=

............................................................................
Dự đoán: Un=
. Khẳng định công thức bằng quy nạp.
Dạng 2: Xét tính tăng, giảm (bị chặn) của dãy số.
Cách giải :
Cách 1 : Lập hiệu : U –U
+ Nếu U –U >0 (n( N ( (U ) tăng
+ Nếu U –U <0 (n( n ( (u ) giảm
Cách 2 : với U >0 (n( N. Lập tỉ số 
+ Nếu >1 (n( N( (U ) tăng
+ Nếu <1(n( N( (U ) giảm
Bài 1 : Xét tính tăng, giảm của các dãy số :
a) U =  ; b) U = 1- ; c) U = n+( )
HD :
a) Hiệu U –U= -  <0 (n( n( (u ) giảm
b) Hiệu U –U=  –  =-  <0 (n( n( (u ) giảm
c) Hiệu U –U= 1- ( ) >0 (n( N( (U ) tăng
Bài 2 : Xét tính tăng giảm của các dãy số :
a) U = b) U = 
HD:
a) Ta cần CM: U <2 (n( n bằng quy nạp
Xét U =  >  >  =U ( (U ) tăng
b) Có U >0 (n( N. Lập =  ( 1+  ). Vì 1+  ( 2 (n( N(  ( 1+  )(  <1
( =  ( 1+  )<1 hay dãy số giảm
Bài 3 : Cho dãy số (U ) xác định bởi : U =U =U =1 (n( 4
U =U +U
CMR dãy số tăng với n( 3
Bài 4 : Cho dãy số U =  +  +