Chuyên đề 3-Bài toán Bất đẳng thức -10

CHUYÊN ĐỀ 3-
CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
DÀNH CHO ÔN TẬP HK-2 KHỐI 10

1-Cho các số a,b,c,d, e.Chứng minh :
(1)
Giải.


Do
nên (1’) đúng.
Vậy :

-------------

2-Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh :
(1)
Giải.



Do :
, nên (1’) đúng
Vậy :
.
-----------
3-Cho a,b,c,d là các số thực .Chứng minh:
(1)
Giải.
-Khi a = 0, b = 0- (1) luôn đúng.
-Khi a.b ≠ 0
Ta biến đổi tương đương ;


Do (1’) đúng nên :
đúng
Vậy :

--------------
4-Cho a,b,c là các số thực .Chứng minh:
(1)
Giải.


Do :
,
,
, nên (1’) đúng.
Vậy :
.
--------------
5-Cho a + b + c ≠ 0 là các số thực .Chứng minh:
(1)
Giải.


Do :
,
,
,
nên (1’) đúng.
Vậy :
.
-------------
6-Cho a , b , c > 0 .Chứng minh:
(1)
Giải.




Do:

.
nên (1’) đúng
Vậy :

-----------------

7-Cho a + b ≥ 2 .Chứng minh:
(1)
Giải.


Do :


, nên (1’) đúng.
Vậy :
.
----------------
8-Cho a + b ≥ 2 .Chứng minh:
(1)
Giải.
-Thừa nhận bổ đề :

Nên :





Vậy :

--------------

9-Cho a. b ≥ 1 .Chứng minh:
(1)
Giải.


Do:
, nên (1’) đúng.
Vậy :

---------------
10-Cho a,b,c ≥1.Chứng minh:
(1)
Giải.
Do :

Suy ra :




Vậy :

-----------
11-Cho a,b,c ≥1.Chứng minh:
(1)
Giải.
Do :

Suy ra :

Mặt khác ,do:

Do tính chất bắc cầu , từ (*) và (**), được:


Vậy :

------------


12-Cho a,b,c ≥ 0 .Chứng minh:
(1)
Giải.
Viết lại :



Do :
, nên (1’) đúng.
Vậy :
.
-----------

13-Với mọi a,b,c > 0.Chứng minh :
(1)
Giải.
Biến đổi tương đương:


Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm, được:




Nhân các vế tương ứng của (*) và (**), ta được:


Vậy :
.
-----------

14- Với mọi a,b,c > 0.Chứng minh :
(1)
Giải.
Biến đổi tương đương:


Do (1’) đúng nên :
-đúng
Vậy :
.
-----------------


15-Cho a,b,c là 3 số dương, với a2 + b2 + c2 = 1.
Chứng minh :
(1)
Giải.
Do :

Nên :

Mặt khác do :
và
nên

Gọi
.Ta chứng minh :

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số : 2x2 , (1- x2) , (1- x2) , được:


Suy ra :

Vậy :

--------------

16-Cho a, b,c > 0 .Chứng minh:
(1)
Giải.
Do a, b,c > 0 nên :


Do :


Thực hiện phép cộng từng vế tương ứng, được:


Áp dụng 3 lần BĐT Cauchy cho mỗi 2 số :


Thực hiện phép cộng từng vế tương ứng và áp dụng tính bắc cầu, lại được:


Vậy :

-------------
17-Chứng minh rằng , với mọi số thực a,b,c > 0 nếu :

thì

Giải.
Từ giả thiết cho ta:


Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số



Do vậy từ (1) :.
, từ đó vận dụng tương đương:
.

.

Nhân các vế tương ứng, ta được:


Vậy : nếu
thì

----------------------