Chuyên đề 1-Chứng minh Bất đẳng thức


Chuyên đề 1:
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Để góp phần tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán THPT , xin nêu ra đây một số phương pháp giải và các bài toán mang tính minh họa.
I.-Phương pháp phản chứng.
-Phương pháp phản chứng được sử dụng nhiều trong các bài toán Logic, các bài toán đại số hoặc hình hình,về cơ bản gồm các bước: Tuy nhiên trng dạng

ta có thể vận dụng :
- đúng, hay :
- đúng.
-Sau đây xin giới thiệu vài bài toán liên quan.
1- Bài toán 1: Cho
,
,
, thì :
(1)
-Giải.
+Giả sử , nếu :
( dạng

+Ta có:


-Do
, nên (*) không thể xảy ra
hay :
không thể xảy ra.
Vậy:



2-Bài toán 2 : Chứng minh rằng, nếu

thì :

-Giải.
+Giả sử :

+Ta có :

-Từ đẳng thức (*) dể thấy :

.Từ (i) :
(mâu thuẫn với giả thiết)
.Từ (ii) :






( mâu thuẫn với giả thiết)
Vậy không thể :

Hay :
.


II.-Phương pháp qui nạp.
-Phương pháp qui nạp được dùng nhiều trong các bài toán về dãy số, cấp số .Thông thường có các bước : Kiểm tra mệnh đề đúng với P(n0) , Giả sử mệnh đề đúng với P(k),Chứng minh mệnh đề đúng ở bước P(k+1) tiếp theo. Kết luận : Vậy mệnh đề đúng với mọi k.
-Xin giới thiệu một vài bài toán dạng này.
1-Bài toán 1: Chứng minh rằng :
với mọi n ≥ 3. (1)
-Giải.
+Khi n = 3 :
-bất đẳng thức đúng khi n = 3.
+Giả sử (1) đúng với n = k , là :
(2)
+Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, là :

hay :
(3)
Thật vậy : Từ (2):





Vậy :
với mọi n ≥ 3.


2-Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có:


-Giải.
+Khi n = 1 :
- bất đẳng thức đúng khi n = 1.
+Giả sử (1) dúng khi n = k , là :

+Ta chứng minh (1) đúng khi n = k +1, là :


hay :

Thật vậy , từ (2) :



Do :

Nên :

Hay :

Vậy :
- đúng với mọi n nguyên dương.

3-Bài toán 3: Cho

Chứng minh rằng:


-Giải.
+Khi n = 2 , với
thì (1) trở thành:


-Do
. Nên
hay

-bất đẳng thức đúng khi n = 2.
+Giả sử (1) đúng khi n =k ( k >2) , là :

+Ta chứng minh (1) đúng khi : n = k+1 (k>2), là :
Với
thì

Thật vậy: Do
,
- mặt khác do :



Nên :



Vậy:
,với
.

III.-Phương pháp dùng BĐT Cauchy
-Bất đẳng thức Cauchy –trong chương trình THPT , bao gồm một số dạng chính sau:
.
- dấu = xảy ra khi a = b.
.
- dấu = xảy ra khi a = b = c.
.

- dấu = xảy ra khi a1 = a2 =………= an.

-Xin giới thiệu một vài bài toán dạng này.
1-Bài toán 1: Cho a,b,c là các số dương và

Chứng minh rằng :

-Giải.
+Do
nên (1)

+Do a>0 , b>0, c>0 và
,nên 0 < a,b,c < 1
Gọi
, ta chứng minh :
thì ta luôn có :


Khi đó:

Đề chứng minh (*), áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số : 2x2 , (1- x)2, (1- x2)2 , được :


Từ đó :

Hay :



2-Bài toán 2: Cho a,b,c > 0