CHỨNG MINH KHÁC NHAU CHO MỘT BĐT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP CHỨNG MINH KHÁC NHAU CHO MỘT BĐT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

CHỨNG MINH KHÁC NHAU CHO MỘT BĐT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
                                        
Chứng minh rằng   
  trong đó A, B, C là ba góc của một tam giác bất kì . 


Chứng minh:        ( Theo thứ tự chương trình học Phổ thông ) Cách 1 (THCS) . Dùng tỉ số Diện Tích Kẻ các đường cao AD, BE, CF  Đặt

;
;


Tương tự

Cộng (1), (2), (3) ta có

(đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.  Cách 2:(THCS) Vận dụng bất đẳng thức :Erdos-Mordell  Cho tam giác ABC. M là một điểm bất kì nằm trong tam giác .  Đặt
  và
lần lượt là khoảng cách từ M đến BC, CA, AB tương ứng.  Khi đó ta có bất đẳng thức
  Vận dụng giải bài trên:  Gọi O , R là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CA..  Ta dễ dàng nhận thấy
.  Do đó :
Tương tự
Do đó

( đpcm).(Erdos-Mordell)  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.  Cách 3:(THPT) Sử dụng BĐT Trêbưsep.  Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác, sử dụng công thức hình chiếu ta có:
,
,
,  Cộng ba biểu thức trên ta có: 
  Không mất tính tổng quát giả sử:
, ta có: 
  Do đó :

( Trêbưsep)
(đpcm)  Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.  Cách 4 Phuong pháp vectơ.  Gọi I và r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC,  và M, N, P lần lượt là tiếp điểm của đường tròn đó  với các cạnh AB, AC, BC ,ta có 


(*)  Ta nhận thấy
( Vì
và góc A bù nhau) Tương tự :
,
Vậy từ (*) suy ra
(dpcm)  Cách 5: Phuong pháp vectơ.  Lấy A, B, C lần lượt là ba gốc của ba véctơ đơn vị sau
,
,
. Ta có :




  Cách 6: Quan hệ bất đẳng thức Schur. 



( Schur) Cách 7 :Sử dụng tam thức bậc hai.  Xét


Đặt
. Xét tam thức
Có
, và hệ số
,Nên
với mọi x Hay
  Cách 8: Sử dụng hàm số.  Ta có

. Đặt
, điều kiện
.Xét hàm số
Lập bảng xét dấu ta có
  Cách 9: Tổng bình phương.  Xét


(Đúng)  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=B=C  Cách 10:  BĐT lượng giác cơ bản Ta có :

( đẳng thức xảy ra khi A=B)

( đẳng thức xảy ra khi
  Vậy :
  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.  Cách 11:  Đánh Giá BĐT  -Tam giác ABC không nhọn, Giả sử góc
  Ta có :

(1)

(2)  Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:

(3) Suy ra
  Nếu A nhọn, thì (1), (2), (3) đều thỏa mãn.  Cách 12 :Hàm lồi   Nếu tam giác không nhọn, luôn đúng ! :  Xét hàm số f(x) = cosx trong
  Ta có f`(x) = -sinx , f``(x)=-cosx <0 với
  do đó hàm f(x) = cosx lồi trên
Đẳng thức xảy ra khi tam giác abc đều