Chọn đội tuyển toán 12 trường chuyên Lê Quí Đôn(có kèm đáp án)

Chuyên Lê Quý Đôn
----------------
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009
Thời gian làm bài: 120 phút
---((-((---

Câu 1. Giải hệ phương trình



Câu 2. Cho dãy số (xn) xác định bởi điều kiện
với n=1; 2; …. Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn khi


Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm giữa của cung BC không chứa điểm A và K là trung điểm của BC. Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau ở M; AM cắt BC tại N.
a) Chứng minh rằng AI là phân giác của góc

b) Chứng minh rằng


Câu 4. Tìm tất cả các hàm số
liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện



Câu 5. Cho a, b, c là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng



Câu 6. Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n
. Gọi S(m;n) là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S(m;n).

----------------------------------------------------------HẾT------------------------------------------------------------
Chuyên Lê Quý Đôn
----------------
LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỀN HSG NĂM HỌC 2008-2009
MÔN TOÁN LỚP 12
Câu 1. Hệ phương trình bài ra tương đương với:


Cách 1. Đặt a = x2 + y2 + z 2 và b = xyz. Bình phương 2 vế của từng phương trình trong hệ rồi cộng lại ta thu được
(1)
Nhân 3 phương trình bài ra theo vế được:
(2)
Từ (1) và (2) ta có:



Thay vào (1) được a3 = 216 tức là b=6.
Thay vào hệ phương trình ban đầu giải được x = 1, y = -1, z = 2

Cách 2. Nhân 2 vế của các phương trình ban đầu lần lượt với 7; 1; -3 rồi cộng theo vế thu được
(7x + y – 3z) (x2 + y2 + z2) =0. Mà x, y, z không đồng thời bằng 0 nên 7x + y – 3z =0.
Thay y = 3z + 7x vào 2 phương trình trong hệ ta thu được một hệ phương trình đẳng cấp bậc 3 ( giải ra nghiệm duy nhất x = 1, y = -1, z = 2)

Câu 2. Xét hàm số

Xét hàm số

Nên phương trình g(x) = 0 có không quá 1 nghiệm mà
nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = c.
Áp dụng định lý Lagrange tồn tại số yn sao cho

Do đó
. Theo nguyên lý kẹp thì lim xn =c.
Vậy dãy (xn) có giới hạn hữu hạn.
(Lưu ý: Có thể chứng minh từ n=2 trở lên thì xn<0 và do đó xét hàm f(x) như trên với x>0, hàm số đồng biến. Dễ chứng minh được dãy số giảm khi n>2 và xn>c với mọi n>2. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn theo nguyên lý Weierstrass)

Câu 3.
a) Gọi E là giao điểm khác A của MA với đường tròn (O).
Ta có

Tam giác MBO vuông tại B có đường cao BK nên


Do đó tứ giác AOKE nội tiếp được


Nên AI là phân giác góc
.
b) Do AI là phân giác chung của các góc
, nên ta có
. Áp dụng công thức tính diện tích




(1)


(2)
Thay (2) vào (1) ta thu được
(đpcm)
Câu 4. Xét hàm số g(x) = f(x) + ax2 + bx với a, b là các hằng số.
Khi đó g(x) là hàm số liên tục trên R và f(x) = g(x) – ax2 –bx. Thay vào điều kiện bài ra thu được


Ta chọn
. Thì
Xét hàm số h(x) = g(2x) –g(x) thì h(x) là hàm số liên tục trên R và h(2x) = h(x) với mọi số thực x. Tuy nhiên h(0