Cauhoi_Ngoaikhoa_TOAN_9_BK

NGOẠI KHÓA TOÁN 9
“VẬN DỤNG HỆ THỨC VIET TRONG GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỦA KHỐI 9”
I.Định lí VIÉT thuận.
Nếu phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0)
có nghiệm là x1, x2 thì:
x1 + x2 = -b:a và x1.x2 = c:a
II.Định lí VIÉT đảo.
Nếu hai số x và y có:
Tổng x + y = s và tích x.y = p
Thì x,y là nghiệm của phương trình bậc hai dạng t2 - st + p = 0
Điều kiện để có x,y là: s2 ≥ 4p
A. Phần 1. Áp dụng định lí Viet thuận
Dạng 1. Nhẩm nghiệm qua phương trình bậc hai có hệ số đặc biệt.
Bài tập: Giải các phương trình bậc hai sau
x2 + 2009x + 2008 = 0
x2 – 2009x + 2008 = 0

x2 + 2009x + 2008 = 0
Ta có: a – b + c = 1 – 2009 + 2008 = 0
Phương trình có nghiệm là:
x1 = -1
x2 = -c:a = -2008
x2 - 2009x + 2008 = 0
Ta có: a + b + c = 1 + (- 2009) + 2008 = 0
Phương trình có nghiệm là:
x1 = 1
x2 = c:a = 2008
Dạng 2. Biết phương trình bậc hai có một nghiệm, tìm nghiệm còn lại
Cho phương trình 2x2 – (3m – 2)x + 3 = 0
Biết phương trình có một nghiệm là -3, tìm nghiệm còn lại.
Giải
Vì phương trình đã có một nghiệm là -3 nên theo Viet ta có : x1.x2 = c : a = 3:2 = 1,5
Nghiệm còn lại là :
x2 = 1,5:x1 = 1,5 :( -3) = -0,5
Dạng 3. Kết hợp với Viet, xét dấu nghiệm của phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0
Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
Phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
∆ ≥ 0 và x1.x2 = c:a > 0
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
a.c < 0
c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
∆ ≥ 0 và x1 + x2 = -b:a > 0 và x1.x2 = c:a > 0
d) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
∆ ≥ 0 và x1 + x2 = -b:a < 0 và x1.x2 = c:a > 0
Dạng 4. Kết hợp với Viet, tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa biểu thức f(x1,x2)
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0
Điều kiện chung: ∆ ≥ 0 và f(x1,x2) được thỏa.
Nếu f(x1,x2) có dạng bậc nhất thì ta giải hệ
Từ hệ trên ta sẽ tìm được một nghiệm x1 hoặc x2 sau đó thế vào phương trình bậc hai ban đầu và cùng với điều kiện của ∆ ≥ 0 ta sẽ tìm được đáp án của bài toán.
Dạng 4. Kết hợp với Viet, tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa biểu thức f(x1,x2)
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0
Điều kiện chung: ∆ ≥ 0 và f(x1,x2) được thỏa.
b) Nếu f(x1,x2) có dạng đối xứng theo x1,x2
Phải biến đổi f(x1,x2) về dạng tổng và tích hai nghiệm rồi dùng định lí Viet ta thay x1+ x2 và x1.x2 vào biểu thức f( x1,x2) và giải tiếp.
Sau đó kết hợp với điều kiện ∆ ≥ 0 để kết luận lời giải cho bài toán.
Nhớ: x12 + x22 = ( x1 + x2)2 – 2x1x2
Dạng 5. Kết hợp với Viet, tìm điều kiện để đường cong parabol p cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ giao điểm là x1,x2 thỏa điều kiện theo x1, x2.
Cách làm chung:
Bước 1:
Lập phương trình hoành độ giao điểm của p và d
Bước 2:
Đưa phương trình hoành độc giao điểm về phương trình bậc hai chính tắc và khi đó mọi liên quan đến x1, x2 ta thực hiện như đã nói trong dạng 3 và 4
Dạng 5.
Ví dụ: Cho parabol y = x2 và đường thẳng d có phương trình :
y = 3x + 2m – 1 ( m là tham số).
Định m để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm nằm ở hai bên trục tung.
Định m để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm phân biệt nằm ở một phía so với trục tung
Định m để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm phân biệt nằm ở bên phải trục tung
Định m để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm phân biệt nằm ở bên trái trục tung
Định m để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa 2x1 – x2 = 0
f) Định m để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa x12 + x22 = 9
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol p và đường thẳng d là: x2 = 3x + 2m – 1
<=> x2 – 3x – 2m + 1 = 0 (1)
Để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm nằm ở hai bên trục tung thì phương trình hoành độ giao điểm (1) phải có hai nghiệm trái dấu x1,x2.
<=> x1.x2 = c:a < 0
<=> -2m + 1 < 0
<=> m > ½
Dạng 5. PTHDGĐ…: x2 – 3x – 2m + 1 = 0
b) Để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm phân biệt nằm ở một phía so với trục tung thì phương trình hoành độ giao điểm (1) phải có hai nghiệm cùng dấu.
<=> ∆ > 0 và x1.x2 = c/a > 0
Ta có: ∆ = (- 3)2 – 4( -2m + 1) = 8m + 5
∆ > 0 <=> m > - 5/8 ( i)
c/a > 0 <=> - 2m + 1 > 0 <=> m < ½ ( ii)
Từ (i) và (ii) ta có điều kiện của m là:
m > - 5/8 và m < ½
Dạng 5. PTHDGĐ…: x2 – 3x – 2m + 1 = 0
c) Để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm phân biệt nằm ở bên phải so với trục tung thì phương trình hoành độ giao điểm (1) phải có hai nghiệm cùng dương.
<=> ∆ > 0 ; x1.x2 = a/c > 0 và x1+x2 = -b/a > 0
Theo câu b ta có:
∆ > 0 <=> m > - 5/8 ( i)
c/a > 0 <=> m < ½ ( ii)
x1+x2 = -b/a > 0 <=> 3 > 0 ( thỏa với mọi giá trị của m)
Kết hợp các điều kiện trên ta có điều kiện của m là:
m > - 5/8 và m < ½
Dạng 5. PTHDGĐ…: x2 – 3x – 2m + 1 = 0
c) Để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm phân biệt thỏa 2x1 – x2 = 0 thì điều kiện là.
∆ > 0 ; và 2x1 – x2 = 0
Theo câu b ta có:
∆ > 0 <=> m > - 5/8 ( i)
Khi phương trình có nghiệm, theo Viét ta có:
x1 + x2 = -b/a = 3, kết hợp với bài ra ta có hệ:
Thay x1 = 1 vào phương trình (1) ta suy ra m = -½ ( iii)
Kết hợp (i) và (iii) ta được giá trị cần tìm m = -½
Dạng 5. PTHDGĐ…: x2 – 3x – 2m + 1 = 0
c) Để đường thẳng d cắt parabol p tại hai điểm phân biệt thỏa x12 + x22 = 9 thì điều kiện là.
∆ > 0 ; và x12 + x22 = 9
Theo câu b ta có:
∆ > 0 <=> m > - 5/8 ( i)
Khi phương trình có nghiệm, theo Viét ta có:
x1 + x2 = -b/a = 3, x1.x2 = c/a = 1- 2m
Từ đó x12 + x22 = 9 <=> ( x1 +x2)2 – 2x1.x2 = 9
<=> 32 – 2( 1- 2m) = 9
=> m = ½ ( iiii)
m = ½ thỏa điều kiện (i), vậy m = ½ là giá trị cần tìm.
B. Sử dụng định lí Viet đảo, lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó.
Ví dụ: Lập phương trình bậc hai nhận các cặp số sau làm nghiệm.
- 5 và 7
Giải:
Vậy theo định lí Viet đảo thì và
là nghiệm của phương trình bậc hai dạng :
t2 – st + p = 0 hay t2 - t – 4 = 0
Kết thúc!