Các đề thi Toán quốc tế







Tuyển tập đề thi IMO
IMO Task Collection


Tuyển tập các đề thi IMO


Kỳ thi IMO lần thứ nhất - 1959

1. Chứng minh rằng
là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.

2. Với giá trị thực nào của x thì biểu thức
= A nhận các giá trị:
(a) A =

(b) A = 1
(c) A = 2
Ở đây chỉ có các số thực không âm cho phép trong dấu căn và giá trị của căn luôn lấy giá trị không âm?


3. Giả sử a, b, c là các số thực. Cho phương trình sau của cosx:
        a cos2x + b cos x + c = 0 Hãy thiết lập phương trình bậc 2 đối với cos2x sao cho có cùng nghiệm x với phương trình trên. So sánh các phương trình trên với a = 4, b = 2, c = -1.


4. Cho trước độ dài |AC|, hãy dựng tam giác ABC với góc
= 90 độ, và trung tuyến BM thỏa mãn BM2 = AB.BC.


5. Cho điểm M tuỳ ý trong đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và MBEF nằm cùng phía đối với đường thẳng AB. Gọi P, Q lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF. Các đường tròn này giao nhau tại M và N.
(a) Chứng minh rằng AF và BC cắt nhau tại N.
(b) Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định S (không phụ thuộc vào M).
(c) Tìm quĩ tích trung điểm của đoạn thẳng PQ khi M thay đổi.


6. Cho hai mặt phẳng P và Q không song song với nhau. Điểm A nằm trong P nhưng không thuộc Q, điểm C nằm trong Q nhưng không thuộc P. Dựng điểm B trong P và D trong Q sao cho tứ giác ABCD thoả mãn các điều kiện sau: nằm trênng một mặt phẳng, AB song song với CD, AD = BC, và ngoại tiếp một đường tròn.
 
Kỳ thi IMO lần thứ hai - 1960

1. Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho số đó chia hết cho 11, và kết quả của số đó sau khi chia cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số của nó.


2. Với giá trị thực nào của x bất đẳng thức sau thoả mãn:

<  2x + 9

3. Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC có độ dài a được chia thành n phần bằng nhau, trong đó n là một số lẻ. Phần đoạn thẳng ở chính giữa nhìn A dưới một góc
. Gọi h là khoảng cách từ A xuống BC. Chứng minh rằng:
tg
=



4. Dựng tam giác ABC biết độ các dài đường cao hạ từ A, B và độ dài đường trung tuyến kẻ từ A.


5. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có A ở trên A`, B ở trên B’, C ở trên C’, D ở trên D’. X là một điểm bất kì trên đường chéo AC và Y là một điểm bất kì trên B’D’.
(a) Tìm quỹ tích trung điểm của XY.
(b) Tìm quỹ tích các điểm Z trên XY sao cho ZY = 2XZ.

 
6. Một hình nón có một hình cầu nội tiếp tiếp xúc với mặt đáy và với các mặt nghiêng của hình nón. Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu sao cho mặt đáy của nó nằm trên mặt đáy của hình nón. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hình nón và hình trụ.
(a) Chứng minh rằng V1
V2.
(b) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của tỉ lệ
. Trong trường hợp này xây dựng góc nửa của hình nón.



Kỳ thi IMO lần thứ 3 - 1961
 
1. Giải hệ phương trình sau với ẩn x, y, z:


Với điều kiện nào của a, b để x, y, z là các số dương khác nhau?


2. Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác và A là diện tích của nó.
Chứng minh rằng:


Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?


3. Giải phương trình cosnx - sinnx = 1, trong đó n là một số tự nhiên.


4. P là một điểm bên trong tam giác ABC. PA cắt BC tại D, PB cắt AC tại E, và PC cắt AB tại F. Chứng minh rằng ít nhất một trong các tỉ số:
không vượt quá 2, và ít nhất có một tỉ số không nhỏ hơn 2.


5. Dựng tam giác ABC biết độ dài đoạn AC = b